无限元在Abaqus静力分析中的应用

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分析人员有时会面临无限大空间中的边值问题，或者是感兴趣的区域相比于周围介质非常小的情况。无限元旨在通过与常规的一阶或二阶平面、轴对称或三维实体单元混合使用来解决此类问题，即通过常规单元模拟感兴趣的区域，而远场边界则通过无限元来模拟。此外，在动力分析中，无限元还可以用来吸收应力波，防止在边界处反射回来的应力波对计算结果产生影响。本文主要讨论无限元在非线性有限元软件Abaqus的静力分析中的应用。

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无限元基本原理

1.1
一维无限元

Abaqus中用于静力分析的无限元是参考Zienkiewicz等人的工作建立的，此类无限元也被称为映射无限元，其特点为采用了两种形函数，即无限元的几何描述通过一组映射函数来实现，而位移场则与常规有限元相同，即采用标准的形函数来确定。

1.1.1 坐标的映射变换
假定无限元具有方向性，单元从x1开始，经过x2，并延伸至无穷远处的x3。然后将该单元映射到自然坐标ξ表示的有限域上（-1≤ξ≤1）。如图1所示。

图1 映射到自然坐标系的无限元

“极点（pole）”O相对于全局坐标的位置x0是任意的，一旦确定下来，则节点K的位置可表示为：

定义全局坐标x与自然坐标ξ之间的映射关系为：

式中：

不难验证

并且满足

显然Mj和Mk分别为一维无限元中节点J和节点K的形函数，图2给出了形函数Mj和Mk随自然坐标的变化。

图2 形函数随自然坐标的变化

可以看到

定义无限元上任意一点到“极点”O为r，则有：

将其代入到全局坐标与自然坐标之间的变换关系：

可以得到：

1.1.2 单元的位移模式
设节点J、K和M的位移自由度分别为u1，u2和u3，则采用3节点等参单元的标准形函数可以得到任意一点处的节点位移可表示为：

将ξ与r的关系代入上式可得：

当ξ趋近于1，即当r趋近于无穷远时，则位移u趋近于u3，如果令无穷远处的位移为零，即u3=0，则该无限元的形函数可重新表示为：

并且需要注意的是，当位于极点O时，即x=x0（r=0），可以得到极点处的位移趋于无穷大，是一个奇异点。

1.2
二维无限元

1.2.1 坐标的映射变换
下面以5节点的二维无限元为例，该单元的6，7，8节点在无穷远处，利用一组映射函数将其映射到自然坐标系中，如图3所示。

图3 映射到自然坐标系的二维无限元

则全局坐标x和y与自然坐标ξ和η之间的变换关系为：

式中，Mi为映射函数，分别为：

不难验证在不同节点处各个映射函数的取值如表1所示。

表1 不同节点处各个映射函数的取值

并且当η=±1时，Mi=∞，因此有：

即实际单元相应的边界位于η方向的无穷远处。

1.2.2 单元的位移模式
为了使5节点映射无限元与8节点四边单元在相邻边正常连接，需要使用8节点四边形等参元的形函数，即：

当然，与1.1.2节类似，如果令无穷远处（即节点6、7、8）的位移自由度为零，则只需用到节点1到节点5的形函数，即有：

设节点位移列阵为：

则单元的位移场可表示为：

式中：

1.2.3 单元应力和应变
由弹性力学平面问题的几何方程可得单元应变为：

上式可简记为：

式中：[∂]为几何方程的算子矩阵，即：

需要注意的是，从全局坐标到等参坐标的变换并不会影响应变的值，因此有：

因此可以将单元应变通过节点位移的形式表示出来：

式中：B(ξ, η)为几何函数矩阵，可以表示为：

不难发现，实际上

基于矩阵乘法可得几何函数矩阵B(ξ, η)可表示为：

可以看到，为了简便起见，可以将几何函数矩阵B表示为分块矩阵的形式：

式中：

基于MATLAB的符号变量求偏导功能（diff函数），可以计算得到各个节点的形函数Ni对自然坐标ξ和η的偏导数分别如下所示，并且利用数值梯度函数（gradient）不难验证这些表达式的正确性。

而根据弹性力学中平面问题的物理方程，可得单元应力为：

式中：D为弹性系数矩阵，对于平面应力问题为：

因此有：

1.2.4 单元刚度矩阵
无限元单元刚度矩阵的形成与普通等参元相同，根据单元的能量泛函以及最小势能原理，可以得到单元刚度矩阵的表达式为：

式中：t为平面问题的厚度。

为了便于数值积分，将物理坐标系(x, y)中的刚度矩阵变换到自然坐标系(ξ, η)中进行计算，即有：

式中：|J2|为2阶Jacobian行列式，这里用到了物理坐标与自然坐标之间的变换关系：

这里，与普通等参元不同的地方只是Jacobian矩阵的求解：

同样基于MATLAB的符号变量求偏导功能，可以得到各个节点的映射函数Mi对自然坐标ξ和η的偏导分别为：

因此，基于Gauss-Legendre积分公式，可以将单元刚度矩阵表示为：

因此单元的刚度方程为：

式中：Pe为等效节点载荷矩阵，可表示为：

式中：Pxi和Pyi分别代表作用在节点i上沿x方向和y方向的节点力。