非线性拟合方法的MATLAB实现

weixin

对测量数据的拟合在科学研究和工程中具有广泛的应用，下面给出几种常用的拟合方法，及其如何在MATLAB环境中实现。

在MATLAB中有用于拟合的命令polyfit、lsqcurvefit、nlinfit和曲线拟合工具cftool，解决一般的工程拟合问题足够了。下面给出几个常用函数。

1、多项式拟合

p=polyfit(x,y,n) 完成数据的多项式拟合，得到多项式系数p，按降幂排列，其中参数x，y是数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,n) 构成的向量，n 为多项式次数。例如

x=[1, 3, 4, 6, 7];

y = [-2.1,-0.9,-0.6, 0.6, 0.9] ;

p = polyfit(x,y,1)

p =

0.5053   -2.5421

即拟合方程为

多项式拟合可以化为线性拟合问题求解，但是非线性拟合问题大多数情形不能化为线性拟合问题，需要直接使用求解非线性最小二乘算法，下面给出几个。

2、lsqnonlin() 函数

lsqnonlin() 函数是求解非线性最小二乘问题

使用格式为

[x, resnorm, residual, exitflag, output, lambda, jacobian] = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)


fun为向量函数；x0为初始点；lb，ub分别为变量的下界和上界；options为参数的选择项，由函数optimset设置。因变量~x为非线性最小二乘问题的极小点；resnorm为x处的残差平方和；residual为x处的残差值；exitflag为退出条件；output为输出求解信息；lambda为上下界约束的Lagrange乘子；Jacobian为x 处的Jacobi矩阵。

例如：解非线性方程组

取初始点

>> equs = @(x)[x(1)^2+x(2)^2-1; x(1)^3-x(2)]; x0 = [-0.8;0.6];

[x, resnorm, residual, exitflag, output, lambda, jacobian] = lsqnonlin(equs,x0)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than

the default value of the function tolerance.

<stopping criteria details>

x =

-0.8260

-0.5636

resnorm =

5.7708e-27

residual =

1.0e-13 *

0.3397

-0.6795

exitflag =

1

output =

firstorderopt: 1.9521e-13

iterations: 9

funcCount: 30

cgiterations: 0

algorithm: 'trust-region-reflective'

stepsize: 1.7483e-07

message: 'Local minimum found.…'

lambda =

lower: [2x1 double]

upper: [2x1 double]

jacobian =

(1,1)      -1.6521

(2,1)       2.0470

(1,2)      -1.1272

(2,2)      -1.0000

3、lsqcurvefit() 函数

lsqnonlin() 是非线性最小二乘拟合函数，使用格式为

[x, resnorm, residual, exitflag, output, lambda, jacobian] = lsqnonlin(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)


fun为向量函数；x0为初始点；xdata，ydata是拟合点；lb，ub分别为变量的下界和上界；options为参数的选择项，由函数optimset设置。因变量x为非线性最小二乘问题的极小点；resnorm为x处的残差平方和；residual为x处的残差值；exitflag为退出条件；output为输出求解信息；lambda为上下界约束的 Lagrange乘子；Jacobian为~x处的~Jacobi矩阵。

例如：已知数据

满足Michaelis-Menten方程

求参数p1，p2。

xdata = [0.02, 0.02,0.06,0.06,0.11 ,0.11,0.22,0.22,0.56,0.56,1.10,1.10 ];

ydata = [76, 47,97,107,123,139,159,152,191,201,207,200];

fun = @(p,xdata)(p(1)*xdata./(p(2)+xdata)); x0 = [200;0.1];

p = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

运行后可得

p =

212.6836

0.0641

即拟合函数为

4、nlinfit() 函数

nlinfit() 是非线性回归函数，使用格式为

[beta,r,J,Sigma,mse] = nlinfit(X,y,fun,beta0)


参数X为设计矩阵；y为响应变量；fun为回归（拟合）函数；beta0为初始参数；beta为最优回归参数；r为残差；J为Jacobi矩阵；SIGMA为参数的协方差矩阵；mse为均方误差。

例如：已知数据

满足Michaelis-Menten方程

求参数p1，p2。

x = [0.02, 0.02,0.06,0.06,0.11 ,0.11,0.22,0.22,0.56,0.56,1.10,1.10 ];

y   = [76, 47,97,107,123,139,159,152,191,201,207,200];

fun = @(beta,x)(beta(1)*x./(beta(2)+x)); beta0 = [200;0.1];

beta = nlinfit(x,y,fun,beta0)

beta =

212.6836

0.0641

即拟合函数为

来源：本文来自王福昌科学网博客，作者：王福昌。

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