牛顿第三定律没啥存在感？从“一个巴掌拍不响”说起.....

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牛顿力学有三大运动定律，第一定律（惯性定律）和第二定律 (F=ma) 我们已经很熟悉了，牛顿第三定律的存在感没有那么强，可能是因为它太“显而易见”了吧。但是，由它“推导”出来的一个结论却非常有意思。

从牛顿第三定律出发
牛顿第三定律简单地说就是：相互作用的两个物体作用力和反作用力大小相等，方向相反（牛顿的原话是“每一个作用都有一个相等的反作用”，并没有提到力。但因为我们学的是牛顿力学，所以教材里都直接用作用力和反作用力来表述）。

举个例子，你用力推墙，就会感觉墙也在以同样大小的力推你。这个好像确实太理所当然、显而易见了，难怪存在感不强。

但是，我们仔细想想，牛顿第三定律其实是在告诉我们：两个物体相互作用（比如碰撞）时，如果我把它们看作一个整体，那它们之间的作用力就成了内部作用力（以后简称内力），内力大小相等，方向相反。

不知道你看到这种大小相等、方向相反的东西会不会有一种想把它们加起来的冲动？

比如，–5和5一点都不好看，但把它们加起来就刚好等于0，消去了，感觉很棒。代数化简时，看到一堆乱七八糟的式子刚好可以正负抵消，立刻心情愉悦。从经典的俄罗斯方块到现在很火的各类“消消乐”游戏，也都是抓住了人们喜欢看到复杂东西被消去，把复杂问题简单化的心理。

那么，既然牛顿第三定律告诉我们相互作用的两个物体间的内力大小相等、方向相反，那我们要不要也来试试，看看能不能玩出一点俄罗斯方块的感觉来？

比如，两个小球在光滑水平面上碰撞时（光滑的意思就是不考虑摩擦力），水平方向上没有其他的外力，主导整个碰撞过程的就是两个小球之间的内力。

根据牛顿第三定律，球A对球B的力和球B对球A的力大小相等，方向相反。

那么，对待这样两个大小相等、方向相反的内力，我们能做点啥呢？直接把这两个内力加起来，让它们的和等于0？这样做好像没什么意义，直接加起来，得到它们的合力等于0又能说明什么呢？难道用牛顿第二定律F=ma，根据合力去算它们的合加速度？这是两个小球，算一个合加速度，没意义啊。

但是，我们可以把思维拓宽一点，再来观察一下小球的碰撞过程：碰撞的时候，这两个内力大小相等、方向相反。

但是，还有一个很隐蔽的量也是相等的，那就是作用的时间t。两个小球碰撞时间t 虽然极短，但它们绝对是相同的。你推了我一秒钟，我当然也反推了你一秒钟，正所谓“一个巴掌拍不响”。

既然两个小球的内力F 和F′ 大小相等、方向相反（即F+F′=0，力是矢量，正负号代表方向），它们的作用时间Δt 又相等。那我把内力和时间乘起来，得到的结果是不是还应该大小相等，方向相反？即：FΔt+F′Δt=0。

假设两个小球的质量分别为m、m′，碰撞过程中加速度分别是a、a′，那根据牛顿第二定律F=ma 就可以F、F′ 写成：F=ma，F′=m′a′。

把F 和F′ 分别用ma 和m′a′ 代入上式后，式子就变长了一点：maΔt+m′a′Δt=0。

这个结果很有意思，在maΔt 里，原本ma 是一组的。但是我们现在棒打鸳鸯，强行把m 和a 拆散，让a 和Δt 组成新的组合，看看能擦出什么火花。

a 乘以Δt 是什么呢？a 是加速度，Δt 是碰撞的时间，加速度a 乘以时间Δt，这不就是碰撞过程中物体速度的变化量Δv 吗（加速度a 表示单位时间内速度变化了多少，乘以Δt 自然就表示Δt 时间内速度变化了多少，即：Δv=aΔt）？

总之，我们用牛顿第二定律把F 拆成了ma，再把a 和后面的Δt 组在一起凑成了Δv。那么，原来的式子自然就变成了：mΔv+m′Δv′=0。

这个式子就值得玩味了，本来是根据牛顿第三定律，两个内力F 和F′ 大小相等、方向相反：F+F′=0。现在却得到了质量m 和速度变化量Δv 的乘积mΔv 大小相等、方向相反的关系式：mΔv+m′Δv′=0。

我们用一个新的物理量p 表示质量m 和速度v 的乘积，即p=mv。再给这个 p 取一个名字，叫动量。那么，mΔv 自然就表示小球碰撞前后动量的变化量 Δp。于是，原来的mΔv+m′Δv′=0就可以写成Δp+Δp′=0。

这就意味着，碰撞前后，小球A 的动量增加了多少，小球B 的动量就要减少多少，这样它们动量的变化量加起来才等于0。两个物体发生碰撞，碰撞前后，一个物体的动量增加了多少，另一个物体的动量就减少了多少，这说明了什么呢？

这自然说明：碰撞过程中，两个小球的总动量守恒。

动量守恒定律
碰撞前我们总共有10份动量，碰撞后你的动量增加了2份 (+2)，我的刚好减少了2份 (–2)，那总动量还是10份，跟碰撞前一样 (2–2=0)。

这就是跟能量守恒定律齐名的，另一个大名鼎鼎的守恒律：动量守恒定律。

能量守恒定律更深层的原因是时间平移不变性，就是说昨天的物理定律跟今天的一样；动量守恒定律更深层的原因则是空间平移不变性，就是说北京的物理定律跟武汉的物理定律一样。守恒律跟对称性之间有非常密切的关系，这里我不细说，你们有个概念就行。

再回顾一下推导过程，想想我们是如何得到动量守恒定律的？

我们假设两个小球碰撞时没有摩擦力，也没有其他外力（或者合外力为0），所以它们的内力大小相等、方向相反，再加上作用时间相同，这才得到了动量守恒定律。也就是说，动量守恒是有条件的。如果我们想让一个系统（比如两个小球）满足动量守恒，那这个系统就必须没有外力（或者合外力为0）作用。

知道了动量守恒，我们再单独看看动量 (p=mv) 这个概念。如果我用力F 推一个质量为m 的小球，让小球从静止加速到速度v，那它的动量就增加了mv。而速度v 和加速度a 之间有这样一个简单的关系：v=at。我们在两边同时乘以质量m，左边就凑出了动量的样子：mv=mat。右边一眼就看到了ma 这个老朋友，立即根据牛顿第二定律F=ma，用力F 替换掉。于是，式子就变成了：mv=Ft。

这个式子告诉我们，用力F 去推一个小球，推了t 秒，那么小球的动量 (mv) 就增加了Ft，动量成了力在时间上的一个累积（还记得力在空间上的累积F·s 是什么吗？）。

所以，苹果从树上下落时，重力mg 就会在时间上不停累积，这就让苹果本身的动量增加了。因为重力对苹果来说是外力，所以苹果自己的动量是不守恒的。

但是，如果我们考虑苹果和地球组成的系统呢？苹果之所以会下落，是因为地球对苹果有一个引力。这种情况下，让苹果下落的重力就不再是苹果和地球组成系统的外力了，而是系统的内力。所以，对于苹果和地球组成的系统，动量就又守恒了。

图源：网络

把思路再拓宽一下，你会发现有很多只有内力“窝里横”的场景，这时候动量守恒定律就会变得非常有用。

牛顿第三定律只涉及作用力和反作用力，孤零零的两个力发挥余地有限。但是，动量的定义是质量乘以速度，速度可是非常基础的物理量啊，所以动量有更大的发挥空间。

来源：原点阅读微信公众号（ID：tupydread），作者：长尾君。