白噪声的最小二乘拟合及傅里叶变换降噪

weixin

在信号处理中常常需要用到曲线拟合，这里介绍一下利用最小二乘拟合一般曲线的方法，并对滤掉信号中白噪声的方法作些介绍。

为了测试拟合算法的好坏，先模拟出一个信号作为检验算法的例子：

1、用白噪声产生模拟信号
对于理论信号y=y(x)，一般可用rand(size(x)) 和randn(size(x)) 生成随机噪声信号，两者的区别在于rand 生成的噪声信号都是正值，而randn 生成的噪声信号则是正负跳跃分布的，所以randn 作为白噪声信号，更符合实际情况：

f0=@(c,x)( (x>=0&x<c(1))*0 + (x>=c(1)&x<c(2))*c(3)/(c(2)-c(1)).*(x-c(1)) + (x>=c(2)&x<c(4)).*( (c(5)-c(3))/(c(4)-c(2))*(x-c(2))+c(3) ) + (x>=c(4)&x<c(6))*c(5)/(c(4)-c(6)).*(x-c(6)) + (x>=c(6))*0 );

disp('real c0');

c0=[1, 2, 1, 5, 2, 6]

x_int=0:0.002:10;

y_int=f0(c0,x_int);

%(x_int, y_int) is perfect zigzag signal

%sig=y_int+0.5*rand(size(x_int));

sig=y_int+0.5*randn(size(x_int));

rand noise

randn noise

2、最小二乘折线拟合
考虑到需要拟合的函数是个分段的折线函数，首先需要建立含有固定参数的折线函数的数学模型，算法如下图：

按照这个算法，用matlab搭建的代码如下：

% try zigzag fitting

f2=@(c,x)( (x>=0&x<c(1))*0 + (x>=c(1)&x<c(2))*c(3)/(c(2)-c(1)).*(x-c(1)) + (x>=c(2)&x<c(4)).*( (c(5)-c(3))/(c(4)-c(2))*(x-c(2))+c(3) ) + (x>=c(4)&x<c(6))*c(5)/(c(4)-c(6)).*(x-c(6)) + (x>=c(6))*0 );

c0=[1.1, 1.5, 1.8, 5.4, 2.5, 5.6];

c_fit=nlinfit(x_int,sig,f2,c0);

y2=f2(c_fit,x_int);

figure();

plot(x_int,sig,'blue');

hold on

plot(x_int,y2,'red --','linewidth',2);

legend('sig','zigzag fitting');

真实参数：1，2，1，5，2，6

拟合参数：1.0237，2.06，1.0107，4.9479，2.1101，6.0005

可以看到，拟合的参数多少和真实的参数存在一些差异，但是已经非常接近。

3、傅里叶变换降噪
如果要进一步提高拟合的精度，需要设法降低白噪声的干扰。因为白噪声是一种宽谱的干扰，所以常用的带通滤波处理是不可行的，这里可以考虑对信号进行傅立叶变换，滤掉其中强度较弱的白噪声频域成分。

Fs=1/(x_int(2)-x_int(1));

nfft=length(sig);

sig_fft_comp=fft(sig);

sig_fft_real=2*abs(sig_fft_comp)/nfft;

% adjust the distribution of spectrum according to double frequency direction

sig_fft_real_adjust=[sig_fft_real(round(nfft/2+1):end),sig_fft_real(1:round(nfft/2))];

f_double=linspace(-Fs/2,Fs/2,nfft);

% apply the A(f) strength filter

Af_level=0.01;

Af_lim=Af_level*max(sig_fft_real);

i_fd=find(sig_fft_real<Af_lim);

sig_fft_fit=sig_fft_comp;

sig_fft_fit(i_fd)=0;

figure();

plot(f_double,sig_fft_real_adjust);

xlabel('f(Hz)');

ylabel('A(f)');

xlim([f_double(1),f_double(end)]);

hold on

plot(f_double,Af_lim*ones(size(f_double)),'red --','linewidth',1);

legend('spectrum','Af limit');

% reconstruct the signal with filtered spectrum

sig_fit=ifft(sig_fft_fit);

% perform fitting for the A filtered signal

disp('fit c0 after A filter');

c_fit3=nlinfit(x_int,sig_fit,f2,c0)

y3=f2(c_fit3,x_int);

% compare signal and fitted signal

figure();

plot(x_int,sig,'black',x_int,sig_fit,'red');

hold on

plot(x_int,y3,'green --','linewidth',2);

legend('sig','Fourier fit','zigzag fit');

傅里叶降噪后结果如下：

此时算得的拟合系数是：1.0677，1.8680， 0.9665，5.0140，1.9736，5.9895。

这比降噪前的效果稍好了一些，更贴近与真实的折线系数。但是编程的复杂度上升了很多，在对拟合的精度要求不是太高的情况下，可以不用作傅里叶降噪的处理。

来源：博客园DocNan的博客