周董是如何进行傅里叶变换的？

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秋秋是个老杰迷。前不久，周董发布新作《最伟大的作品》时，秋秋就兴奋的觉都不睡了，在B站看各种二创视频分享给冬冬，让他也别睡了，还问他：你这个年纪怎么睡得着觉的？于是冬冬找我一起填了首《最伟大的物理》给秋秋助助兴。

受到秋秋的熏陶，冬冬也开始关注起了周董，这天他发现了前几年周董在某节目上展现了自己的“绝对音感”。一个和弦下去，冬冬只能听到Duang的一声，而周董却把里面的六七个音调准确无误地全部区分出来了。后来又看到了周董的“三键成曲”的视频，这着实惊呆了冬冬，怎么才能做到从Duang的一声中分解出那么多音调呢？

简单来说就是周董对声音信号进行了傅里叶变换，在频域空间分解出了它的各个音调，从而准确地区分出了一个和弦的六七个音。

但要把傅里叶变换讲清楚则需从傅里叶级数说起。

法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，即：

其中，f(t ) 是任意周期为T 的周期函数。

那么问题来了，为什么要选取正弦函数和余弦函数呢？在二维的欧氏空间中，我们可以很自然的用坐标表示一个向量A比如说 (3,2)，我们也可以很自然的作以下分解：

其中：

选取它们是因为它们的内积为0，模长为1，为一组标准正交基。而正弦函数与余弦函数族的正交性可表示为：

其中，m≠n。

傅里叶级数就是想表达任意一个周期为T 的函数都可看作基为以下函数的分解：

从正交性我们也知道了不同基函数之间相乘求积分为0，于是各个基函数之前的系数便可以利用这种方法求到：

那这种分解什么用呢，我们从一个简单的例子看起：

尽管根据我们所学知识，可以轻易地画出cos(ωt),2cos(2ωt),3cos(3ωt) 单独的图像，但是画出他们加到一起的图像却还是要费一番功夫。这时候不妨转换一下思路，任意一个初始相位为0的余弦函数可以写成Acos(nωt) 的形式，真正把他们区别开的只是振幅A 和频率nω，所以如果我们以振幅为纵坐标，频率为横坐标，那么便可以轻松的得到振幅和频率组成的离散图：

那如果周期函数还包括了正弦函数的分量又要怎么办呢？我们引入欧拉公式试图把基函数前面的系数统一起来eiθ=cos(θ)+i sin(θ)

此时令ck=(ak-ibk)/2，由前面的系数求法我们可以知道c-k=(ak+ibk)/2，则前面在正整数上分解的基函数又可以拓展到负整数上面去：

此处基函数满足：

式中，k1≠k2。

于是，利用该性质：

我们便得到了周期函数用复数表示的傅里叶级数分解形式。

这时候问题又来了，周期函数我们会处理了，那对于绝大部分的非周期函数怎么办呢？答案便是当作周期为无穷大的函数来处理。同样利用基函数的性质：

得到了关于ω 的一个函数，此时周期为无穷大，ω 已经连续变化，如果高频信号多一点则会：

如果低频信号多一点则会：

这时我们已经明白周董是怎么做的了，他在听到钢琴声音后，把时域信号在大脑中进行了傅里叶变换，然后在频谱图上便能清晰的知道对应哪几个音调了。

冬冬说：“那我把声音录下来进行频谱分析岂不是也可以说出哪几个音调？”

秋秋答：“可是杰伦只用听就可以诶，那你能嘛，很难的啦。”

作者注：部分图片源自于网络，仅供科普参考。

参考文献：
[1]https://baike.baidu.com/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0
[2]https://baike.baidu.com/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/7119029?fr=aladdin
[3]https://baike.baidu.com/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E9%80%86%E5%8F%98%E6%8D%A2/5137426?fr=aladdin

来源：力学科普微信公众号（ID：lxkp_cstam），作者：和花花。