我所认知的“频带参数”基础篇：傅里叶变换

Stubborn

“由简入繁易，化繁为简难。”

使用“频带参数”二十多年了，一直想聊聊这个话题，把事情讲清晰讲透彻。原本以为简单整理一下就能动笔，却发现头绪越来越多，需要照顾方方面面。终于下定决心，提笔落字。

“频带参数”来自“频带”这个概念；而“频带”概念来自于“频谱”；提到“频谱”，就不得不讲讲“傅里叶变换”。

介绍“傅里叶变换”的文章，有学术范的，有插科打诨派的，大家都可以找来看看。

我个人觉得，“傅里叶变换”不仅仅是数学方法。我们经常提到的“换位思考”，“换个角度看问题”，诸如此类的人生智慧，傅里叶老先生200年前用公式搞定了。老先生主要贡献是“传热理论”，笔者本科攻读“热能动力专业”，瞬间觉得，那些复杂的推导公式汽化消散了。

言归正传，还是要捋一下理论，然后表达自己认为最重要的一些观点。

01、认识“振动值”

工作口语里，我们经常说“去现场测振”。“测振”，就是“测量振动值”。这里明确简化一下，我们谈论的“振动值”，是一个维度上的值，即只有大小。

然而，“振动值”和其他类型的值的表现差别特别大。我们把长期需要检测的工业测量值简单分一下类别：

  · 缓变量，例如温度、压力、流量等等，经常是数值稳定，没啥变化。定时抄个表，就能掌握情况。

  · 电气参数，例如电压、电流等，变化稍许快了些，但每秒也就50次（50赫兹），模式也简单（正弦波）。工程上研究很透彻，专门定义了“有效均方根值”等参数，对电气性能进行把控。谐波分析可能是最复杂的了。

  · 振动值，就复杂多变了。如有一系列振动值，用时间轴作为横坐标，就构成了“时域波形”。参考电气参数的分析处理方法，可以获得振动的“波形参数”，如“有效均方根值”、“峰值”、“峰峰值”等。但这远远不能达到预期效果。

02、观察“时域波形”

如果仔细观察振动的“时域波形”，就会发现，为了能尽量准确记录振动值的变化，“时域波形”上的数据点非常密集。

通常，1秒的时间至少要记录2500个数据点以上，才能满足后期频谱分析的最低要求（国际标准ISO 10816定义了1000赫兹的分析带宽）。振动分析系统，如XG 9900系统，1秒钟的数据采集能力是15800个点，才能充分覆盖传感器的有效带宽。要获取有价值的振动信号，无论对硬件指标，还是对软件性能，都有非常高的要求。

“时域波形”通常显得很杂乱，难以找寻规律。这时就有必要变换观察视角了。通过傅里叶变换，可以将时域波形转换成一组正余弦的线性叠加，构成频域的频谱图。正余弦函数的特性，已经做了充分研究，研究透了也就简单了。傅里叶变换让复杂变简单，让频谱大放异彩。

03、“傅里叶变换”另类解读

用音乐来解释“傅里叶变换”，可能更加容易理解。声音文件就是非常典型的“时域波形”。而琴谱是什么呢？琴谱就是音乐在频域的显现。一个音符，代表了一个频率。中央C就是440赫兹。在恰当的时间点，用合适的力度，敲下准确的琴键，这一系列的弹奏，就构成了美妙的乐曲。

“时域波形”是沿着时间轴振动值，现实世界，振动值是仅有实数部分，没有虚数部分。经过“傅里叶变换”，转换成为沿着频率轴的复数，既有实数部分，也有虚数部分。复数可以等价用幅值和相位表述，这种形式更加被接受。所以，频谱就有频率、幅值、相位这三要素的概念了。从两个维度（时间、大小），变成了三个维度（频率、幅值、相位），“多”出一个维度，是不是有赚到的感觉。

04、大师的趣闻

傅里叶，全名是让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier），法国人，孤儿。一生教过书、从过政、跟着拿破仑非洲搞外交。一直醉心于数学物理的研究，近乎痴迷。

傅里叶变换是傅里叶从事“热传导”研究时引入的数学方法：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时这一理论很有争议。拉格朗日（又一个大师，熟悉而陌生的名字）就挑战，让傅里叶解释方波的直角处导数突变如何解释。正弦余弦类三角函数是连续可导，导数也是正弦余弦函数，叠加不会产生突变。

争论持续多年。究竟两位大师谁是对呢？

正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，这句话拉格朗日对。可以用正弦曲线来无限逼近地表示，逼近到两种表示不存在能量差，所以傅里叶也对。各位看官，科学界也“和稀泥”。直的也能给你掰弯了。

傅里叶极度痴迷热学，走火入魔，认为“热”能包治百病。炎炎夏日，略感小恙，关紧门窗，穿上厚衣，围坐火炉......最后是“热射病”，还是一氧化碳，带走了这位大师，就无从考证了。