科研进展 | 离散对称控制基于平行四边形的折纸几何力学

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从拓扑绝缘体和超导体到受挫磁体和力学超构材料，离散对称描述了物理系统的特性。这种对称性可以决定周期性力学网络的刚性变形，包括负泊松比（拉胀）模式的产生。这种拉胀力学超构材料以膨胀应变或同步（穹顶状）曲率为特征，适用于常规材料无法实现的各种工程应用。

虽然拉胀材料的这种膨胀面内行为通常与同步面外行为耦合，但一系列高度对称的折纸图案表现出相同和相反的面内和面外泊松比。折纸结构和组件由薄板组成，薄板的低能力学响应由其折痕图案的几何结构通过兼容性条件决定，兼容性条件将变形限制为等距，从而在不拉伸其面的情况下变换薄板。

现代制造和驱动技术可以用于在宏观、纳米和微尺度上实现这种结构的自折叠，应用于工程和软体机器人技术。这些等距构型可以被认为是依赖于折痕图对称性的简并基态来刚性折叠。然而，这些对称性之间的相互作用以及折纸作为具有负泊松比或高刚度重量比的力学超构材料的功能尚未得到明确的探索。受折纸启发的超构材料利用折痕几何结构（通常基于对称性），生成具有负泊松比和高刚度重量比等不寻常特性的可展开和可重构结构。对此类结构的数学处理通常非常复杂和特殊，因此无法获得影响深远的解析解，也模糊了几何和机械响应之间的相互作用。

近日，美国乔治亚理工学院James McInerney和D. Zeb Rocklin团队开发了一种线性兼容性的形式，可以明确研究几何对称性和折纸折痕中的功能之间的相互作用。

文章将这种形式应用于一类特殊的周期折痕图案，其单元由任意四个平行四边形面组成，并确定它们的力学响应具有反对称性。证明了这些模态是这个对称算符的本征态，并且这些模态同时与对称应变算符和反对称曲率算符对角化。该特征揭示了反对称性定义了一类折痕图案几何的等价类，这些折痕图案具有相等和相反的面内和面外泊松比。最后，证明了当折痕图案在简并基态之间刚性折叠时，这种泊松比一般会改变符号，并且确定了在所有构型中具有严格负的面内或面外泊松比的子族。总结了对未来工作的延伸和实验性实施。相关研究发表在《Proceedings of the National Academy of Sciences》上。（徐锐）

文章链接：
J. McInerney, G. H. Paulino, D. Z. Rocklin. Discrete symmetries control geometric mechanics in parallelogram-based origami[J].

Proceedings of the National Academy of Sciences, 2022, 119(32): e2202777119.

https://doi.org/10.1073/pnas.2202777119

来源：两江科技评论微信公众号（ID：imeta-center），作者：九乡河。