材料力学笔记之：传动轴的截面为何要做成圆形

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一、扭转的力学分析

1. 扭转形式

(1) 扭矩符号的约定

图1 扭矩的方向与符号

（源于百度文库）

(2) 圆截面杆的扭转变形

圆截面轴扭转后截面仍保持为平面，其形状和大小不变，半径仍保持为轴线，各截面仅相对转动一微小角度γ。

图2 圆截面杆的扭转变形

（源于百度文库）

(3) 非圆截面杆的扭转

图3 正方杆截面杆的扭转变形

（源于百度文库）

  · 自由扭转：当杆件截面为非圆截面时，在扭转变形中横截面要发生翘曲，相邻截面翘曲程度均相同，则所有纵向纤维的长度均未改变，横截面上没有正应力只有切应力。自由扭转只有在等直杆件两端受外扭矩作用，且相邻截面的翘曲不受外部约束的条件下才能实现。

  · 约束扭转：非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化或端面有约束不能自由翘曲时，相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上不仅有切应力还有正应力。在实体截面杆中约束扭转引起的正应力通常比较小，可以忽略不计。但对于薄壁截面杆，这种正应力往往很大而不能忽略。

2. 基本假设

(1) 平面假设

圆截面扭转后仍保持为平面，其形状和大小不变，半径仍保持为轴线，截面间仅相对转动一微小角度γ。该条假设只对圆截面轴成立，对非圆截面轴不成立。

相邻截面间距不变，截面上除τzx=τzy 外，无正应力；σx=σy=σz=τxy=0。弹性力学模型如图4所示。

图4 直杆扭转弹性力学模型

（源于文献[4]）

(2) 薄膜比拟

普朗特指出：薄膜（液膜）在均匀压力下的垂度与等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭杆，有助于求得扭转问题的解答。设有一块均匀薄膜，张在一个水平边界上，如图5所示。该水平边界与某一扭杆的横截面边界具有同样的形状和大小。当薄膜承受微小的均匀压力时，薄膜的各点将产生微小的垂度。以边界所在的平面为xy 面，则垂度为z。由于薄膜的柔顺性，可以假设它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只承受均匀的拉力FT（类似液膜的表面张力）。据此分析得出，在扭杆横截面上某一点处的，沿任一方向的切应力就等于该薄膜在对应点处的垂直方向的斜率。由此可见，扭杆横截面上最大切应力等于薄膜的最大斜率。但须注意的是，最大切应力的方向和最大斜率的方向是互相垂直的。利用该假设可以求得下文表1中非圆截面直杆的最大切应力和相对扭转角。

图5 薄膜比拟模型

（源于文献[4]）

3. 扭转切应力及扭转角的计算

(1) 实心圆形轴

在假设1和假设2条件下，构件材料在弹性范围内，塑性材料在纯剪切时的力学性能：τ=Gγ，γ 为切应变；γ=φR/L（γ 为相距为L 的两个截面的相对扭转角；φ 为扭转端端面转角，R 为圆外半径，L 为两截面的间距）。

图6 实心圆截面杆件扭转示意图

（源于百度文库）

圆截面上ρ 处的切应力为：

一圆截面杆件在相同扭矩作用条件下，截面上τρ 与ρ 成正比，即ρ 越大时，τ 越大。当ρ＝R 时，得到圆截面边缘处的最大切应力值。由于R 和IP 都是只与截面几何尺寸有关的量，可以将其表示为Wp=IP/R，称作圆轴的抗扭截面模量，这样τmax=T/WP。由此可见，对于杆件的扭转切应力而言，它不直接与其截面积的大小相关。圆截面实心轴的抗扭系数WP≈0.2D3。

圆杆受扭时的扭转角φ，GIP 为圆截面的扭转刚度，反映轴抵抗变形的能力，相距为L的两个截面的相对扭转角为：

相对扭转角

圆轴的刚度条件

(2) 空心圆形轴

空心圆形轴的截面抗扭系数约为：WP≈0.2D3(1-α4)，0<α=d/D＜1。当α=0.8时，WP 为实心圆截面的60%，即在相同扭矩作用下，强度降低40%，但在材料相同，长度相同条件下，重量却相差2.8倍。

(3) 闭口薄壁管

对于圆管来讲，当圆管的壁厚δ 远小于半径R0（一般认为≤R0/10）时，称为薄壁圆管。这类管件可以是任意形状的等截面，由于是薄壁管，可以假设切应力在整个壁厚(t) 内为均匀分布而得到近似解。根据切应力互等可以得 出，管截面上所有点的平均轴向切应力与管壁的乘积相等，即剪切流q 相等。由于整个截面上q 值恒定，所以在最小壁厚处切应力最大。当管件截面为圆形时，Am=πR02，增大圆筒的直径能够大幅降低切应力值。

4. 轴横截面的应力分布

图6 几种常见截面的切应力分布图

（源于百度文库）

二、扭转失效形式

1. 破坏顺序

在扭转试验中，试样在截面上的应力分布不均匀，表面最大，越往心部越小。因此扭转时，材料的破坏是由表及里的，裂纹首先从圆杆的最外层开始。工程中，常用扭转试验来检验材料表面缺陷及表面硬化层的性能。如图7所示。

图7 圆杆样件扭转试验

（源于百度文库）

2. 塑性材料

对于用低碳钢一类的塑性材料制成的圆轴，在受扭的过程中先是轴表面发生屈服，随着扭转变形的增大，最后圆周沿截面被剪断。由于材料抗剪能力低于抗拉能力，且在横截面上具有最大的切应力，因此断口发生在横截面上并表现为剪断破坏。工程上，一般把横截面外边缘上的最大切应力达到材料的剪切屈服极限τs 作为危险状态，并以此来建立强度条件。然而，当边缘上的切应力达到屈服极限时，其他部分仍处于线弹性工作状态，圆杆不会发生明显的塑性变形，即扭矩还可以继续增加。考虑材料塑性时，实心圆杆的极限扭矩（塑性扭矩）比屈服扭矩大了1/3（工程简化计算结果）。当材料横截面边缘处的切应力达到材料的剪切屈服极限τs 时，随着扭转力偶矩的增大，塑性区域逐渐向内扩展，同时横截面边缘处的材料开始强化，若继续加大扭转力偶矩，则裂纹首先从圆杆的最外层开始，最终沿横截面被剪断。如图8所示。

图8 塑性材料圆杆样件扭转试验

（源于百度文库）

3. 脆性材料

对于抗拉能力低于抗剪能力的脆性材料（如铸铁）所制成的圆轴在扭转破坏时，变形很小，并在与轴线大约成45°倾角的螺旋面发生断裂。由于与轴线成135°的斜面上具有最大的拉应力，当该截面上的最大拉应力超过材料抗拉强度极限时，就在该截面发生拉断破坏。如图9所示。

图9 脆性材料圆杆样件扭转试验

（源于百度文库）

4. 圆木扭转破坏

圆木杆件所受到的内扭矩T 不仅在横截面上产生一个径向线性分布的切应力，沿轴平面上还产生一个相应的切应力，发生沿轴平面的开裂。由于木材是各向异性材料，其沿轴向与纤维平行的剪切力要远小于垂直于纤维截面内的抗剪切力，从而表现出如图10所示的开裂形式。

图10 圆木扭转破坏

（源于文献[4]）

三、轴的抗扭设计

1.不同截面杆件的抗扭性能

根据弹性理论分析得出正方形截面，三角形截面和椭圆形截面的最大应力及扭转角的计算公式如图示。在所有情况中，最大切应力存在于截面边界线上与中心轴最接近的位置。从封闭薄壁管的观点来看，相对于中心轴壁厚最薄的位置切应力最大。

图11 不同截面扭转切应力及相对扭转角的计算公式

（源于文献[5]）

设圆形、正方形、正三角形、椭圆形的面积都为S，受相同的扭矩T 作用。那么，正方形的边长a=S 1/2，正三角形的边长a≈2.3S 1/2，由图中给出的最大应力计算公式可以看出，在截面积和扭矩相同情况下，正三角形截面上的最大切应力约为正方形的1.8倍；对于椭圆形，当a=b 时为圆形，a=0.56S 1/2，正方形的最大切应力约为圆形的1.32倍；当a≠b 时为椭圆，1＞b/a=λ＞0，椭圆的最大切应力与圆的最大切应力之比就为λS -2，这样λ 越小，其切应力就比圆形时越大。

通过上述比较可以得出：在相同截面和承受相同扭矩条件下，圆截面上的最大切应力最小，扭转角也比非圆截面轴的小，因此将传动轴做成圆形，其在抗扭力学性能上具有天然的比较优势。将上述结果推广到任意形状的截面，可以证明圆截面轴效率最高[5]。

2. 根据扭矩估计轴的直径

当轴的长度及跨距未定时，支座反力及弯矩无法求得，多支点或不太重要的轴，常根据轴所承受的转矩来估算轴径，见表1。A 值是与材料有关的系数，可查阅文献[7]获取。

表1 轴径的扭矩校核公式（源于文献[7]）

3. 空心轴

由于圆截面轴在承受扭转载荷时，表面切应力较大，心部相对较小。因此，去掉部分心部这些没有充分发挥作用的材料可以有效减轻轴的重量，提高轴的抗弯性能。但轴类零件是否一定要做成空心，则不仅需要从力学上考虑，还需要考虑其工艺性和制造成本。同时，壁厚也不能过薄，否则会发生局部褶皱而丧失承载能力。当圆筒的壁厚δ 远小于半径R0（一般认为≤R0/10）时，称为薄壁圆筒。但若薄壁管上有沿轴线的纵向开口则会显著降低其抗扭性能。对此，通常采用加设横隔板等措施，以提高其扭转刚度和强度。

4. 应力集中

一根轴通常由不同的截面组成，在截面过渡位置，空间突变会造成应力集中，该部位也是轴类零件常见的失效形式。如何选择并确定相邻两截面的大直径大小以及过渡圆角，可以参阅文献[7,8]。

5. 圆柱螺旋弹簧

圆柱螺旋弹簧是机械工程中常见的一类零件，其基本特点是受力后弹性变形大，轴线为螺旋形。在设计上对于受荷载大的弹簧，通常考虑其强度；但对于受荷载不大的弹簧一般是考虑其变形；一般不重要的弹簧，只需要根据结构尺寸查看规范选取。有关弹簧的设计计算方法可查阅文献[8]，也可以参阅GB/T1239系列标准，GB/T2089、DIN2089等标准。

四、材料的剪切性能与拉伸性能

在静载荷作用下，材料在扭转时的力学性能和拉伸时的力学性能之间存在一定的关系，因而有材料的[σ] 来确定许用切应力[τ]：

从上表可见，文献[1,2]给出的切应力与正应力之间的关系存在差异。根据文献[2]所提供的几种塑性材料切应力与正应力的比值来看，0.5~0.7[σ] 更为恰当，以上关系只是在没有确切切应力数据时的一种大致估算，若要进行准确的校核则需要获取材料具体抗扭的强度值。

参考文献

[1]俞茂宏 编著 材料力学(第2版)[M]，北京：高等教育出版社，2015.3

[2]江晓禹等 修订 材料力学(第4版)[M] 成都: 西南交通大学出版社，2009.2

[3]徐芝纶 弹性力学简明教程(第4版) [M] 北京：高等教育出版社，2013.6

[4]徐芝纶 弹性力学(5版)[M] 北京：高等教育出版社，2016.3（2017.10重印）

[5]R.C.Hibbeler 著，材料力学 [M] 汪越胜等 译  北京：电子工业出版社，2006.8

[6]W.A.纳什 著，材料力学(第4版)[M] 赵志岗 译，北京：科学出版社 2002.1

[7] 闻邦春 编著 机械设计手册(第5版)第3卷[M] 北京：机械工业出版社2010.1

[8] 闻邦春 编著 机械设计手册(第5版)第6卷[M] 北京：机械工业出版社2010.1

[9] 王洁会等 编 材料力学性能[M] 天津：天津大学出版社2006.9

来源：产品设计研习社微信公众号（ID：gh_ecd074a00e00），作者：探路者510。