一叶知秋——从简谐振动到世界的规律性

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导读：
简谐振动是最简单的机械振动，具有普遍性和基础性特点，表现为生活中具体物理现象的常见性、在物理学中应用的广泛性，以及可以此为基元合成复杂运动。同时，我们可从“小”的基元振动中窥见“大”的物理规律、以至整个自然科学中的普遍规律，此即对称性与守恒律。本文将先介绍简谐运动的基本概念与特性，通过实例说明，着重指出其在日常生活中的普遍可见性与可及性；接着从现象的、微观的观察上升到理论的、宏观的探索与思考，讨论简谐振动所体现的更广阔视域中的规律。

01、简谐振动的基本概念与特性星

简谐振动的概念

自然界中的物体有多种运动形式。其中，物体在一定位置附近所做的来回往复运动称作机械振动，运动过程中存在平衡位置。振动的一个显著特征是，物理量随时间发生周期性变化。若物体对于平衡位置的位移x 按余弦（或正弦）规律随时间t 变化，则称这一振动为简谐振动。简谐振动是最简单、最基本的机械振动，是一种理想模型。我们可以把一切复杂的振动分解为不同频率的简谐振动，亦即可以用若干不同具体形式的简谐运动合成任何复杂振动。

简谐振动的基本特征

1. 简谐振动的数学及图像表达

三角函数是我们常见的数学工具，以往在介绍三角函数的图像与性质时，我们所依据的基本应用背景就是简谐振动。我们知道x=Acos(ωt+φ) 是余弦函数表达式，其图像是[-∞,+∞] 上连续的曲线。在物理学意义上，此即作简谐运动物体的位移-时间关系。基元振动对应着简洁而和谐的基本初等函数，这或许是自然科学中一种美妙的耦合。

其中，A 是振幅，ω 对应着物体能够离开原点的最大位置。简谐运动周期性的反映，称作振动的角频率，它由系统自身的固有属性（弹性和质量）所决定。周期T=2π/ω，ω=√(k/m)，φ 称作初相，关乎简谐振动过程中对原点的不同选取。

2. 简谐振动的运动学和力学性质

(1) 速度v，加速度a

由于速度和加速度分别为位移对时间的一阶、二阶导数，根据三角函数导数的封闭性特点，简谐运动的v-t，a-t 图像同样是连续曲线。其中

我们看到x、v、a 与t 的关系图像如下：

图1 简谐运动的位移、速度、加速度随时间的变化

根据牛顿第二定律 ，在物体质量一定的条件下，简谐运动的加速度进而使物体发生简谐运动的外力，和位移成正比，方向相反。从动力学角度定义，物体在与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下的运动，称作简谐运动。

(2) 系统的能量问题

水平弹簧振子是物理学中研究简谐运动的一个基本载体，我们不妨分析这一运动系统的机械能状况。给定弹簧振子的位移x 和运动速度v，则：

联立上述表达式，可以得到：

由于k、A 均为特定于系统的常量，所以我们在理论上推演出：在理想状态下，简谐运动系统内部的机械能不变（不同系统的能量不同，与其自身性质有关，但都是一个稳定的常数），且在数量层面指出总能量与振幅之平方的正比关系，这也与我们的经验直觉相契合：弹簧振子“最远能弹到哪儿”（即振幅），可以作为该系统的总能量大小、以及整个运动过程强度的衡量指标。

(3) 始自基元的复杂运动合成

在同一直线上，同频和不同频的简谐振动可以合成为更加复杂的振动。此外，相互垂直的简谐振动一样可以合成新的运动（如在光学中介绍到的李萨如图）。由于能力所限，我不再于物理学定量层面讨论运动的合成，而只简要介绍其中的数学原理，作为我们后文进一步讨论的基础。

把复杂性振动分解为许多简谐运动之和的方法在物理学中称作谐振分析，其对应的数学方法为傅里叶分析。傅氏级数展开把周期函数F(x) 表示为：

从而，复杂振动的x-t图像能够通过简谐振动图像在区间上垂直加总得到，我们便拥有了描述各种振动的一般方法，此即从特殊性推广至普遍性，也是一个由简洁美组合成较为复杂的规律美的过程。这种思想体现在自然科学的各个方面，我们后文亦会专题论及。

02、简谐振动的生活实例

作为一种基元振动，简谐振动在生活中有很多简单而有趣的体现。在机械运动中，给出一个小位移，我们往往能观察到很多属于（或近似）简谐振动的现象。此外，由基元合成的运动形式和各种波动更是屡见不鲜。以下试举几例来说明简谐运动的普遍性和基础性。

“摆动”：座钟钟摆的移动、轻轻荡秋千

两种现象有一共同特点：角位移较小情况下的摆动。摆钟根据物理学的单摆原理制作，其目的是控制齿轮等结构，使时钟均匀转动。我们聚焦钟摆的运动过程：摆从最高位置运动到最低位置，重力势能转化为动能；由于其本身仍有速度，便继续运动到另一侧的最高位置，动能转化为重力势能；于是再向下摆，如此往复。我们可以观察到位移、摆角、速度与运动方向关于竖直的平衡位置的对称，以及系统的能量守恒（不考虑损耗）。这正是规律简洁鲜明的简谐运动。

同样，荡秋千时如果有人在后面把我们抬高后松手，设定别人松手的高处为平衡位置，我们就在一个对平衡位置的位移成正比（力越大，荡得越远）而反向（例如，最初牵着我们的力向右，而运动向左）的外力作用下进行往复运动，直到因能量损耗而停下，我们也可看作简谐运动的实例。幼时的快乐，包括我们喜爱的不倒翁，或许也正与这种往复对称运动、逼近极限又趋向平衡的节奏有关。

“弹动”：从弹簧测力计到弹力玩具

图2 弹力玩具

弹簧测力计是我们在中学物理中常见的器具，它有一个自然长度，悬挂重物后，弹簧会做上下振动，直到读数稳定。这正是弹簧在弹性限度内做简谐运动的例子。更加有趣的是，市面上的这种弹力玩具（见图2），该设计与弹簧工作的基本原理有异曲同工之妙，竖直拿起时会与弹簧测力计的运动状态类似。其他情况如图2右侧所示。在这种弯曲的放置状态下，如果我们按住两端，在水平方向对其施加一个力，会看到它左右扭晃、最终恢复到图示状态。

“浮动”：水面上物体的浮动或浮桥的摆动

我们经常看到：载货的轮船在水面上会有相当程度的上下浮动。水盆中投入一个能漂浮的小球或木板，同样会有细微的振动才能稳定。我们去水上乐园往往也会踩气垫或木板做的浮桥，彼时会有“乱摆”之感，仿佛在上下左右各个方向都因受到脚踩的反作用力而产生位移。

图3 为人过浮桥

上述小范围“浮动”现象与简谐振动也有密切关联。我们以较为复杂的浮桥摆动为例，分析浮桥受力和运动情况。人行进过程中的脚踩是使浮桥振动的主因，合外力在水平和垂直方向上分解，运动情况同样分解为上下振动和左右振动。两种运动过程都围绕无外力施加、稳定漂浮的状态做往复运动，向两侧偏离的幅度基本相同。从经验观察来推断，若把水平和竖直不同方向上浮桥的相对位移、速度和加速度同时间的变化关系绘成图像，其大概也是在一定范围内波动的曲线，这正是简谐运动的基本特点。从而，我们在“乱摆”之中能发现“有序”，只需对复杂现象做理论上的分析与实践考察中的解剖。

声现象：下课铃声或演奏弦乐器

当我写至此处时，恰逢北大特色的“当当当”三声下课铃重复敲了两遍。我们知道，简谐振动概念可以从物体的运动学拓展到波动层面，此时我只觉下课铃声颇为悦耳，一声之中长音回荡、强弱层次错落有致，三声铃响之起落间隔分明、富于节奏感，或许其波形（或部分波段）类似简谐波？

我们已知，演奏弦乐器时弦线被激发，弦上两列相向传播的行波叠加成驻波，固定的两端弦线为其波节；即，驻波的本质正是简谐波（纵波）的叠加。那么，可以做适当的类比，把下课铃声（以及类似的声现象，如管乐器、敲击音叉）的波看作是简谐振动（或其叠加而成的复杂振动）吗？在粗略的定性想象中，我们或许可以这样认为；因其直观上比较符合简谐振动的和谐特性，其基频和谐频大体合意。至于事实如何，则需要通过更深入的理论来分析，交由实验来证明。

03、见微知著：规律的普遍性

简谐振动在理论特性和具体表现形式上都具有“科学的美感”。然而，如果我们寻找它在整个物理学体系中的位置，会发现它仍是偏经验性的。在经验现象背后，我们能够发现具有“支配”意义的基础物理规律、甚至是全部自然科学和整个世界的“金规则”，我们有必要简要讨论这一从微观具体到宏观抽象的过程。

统率物理学的法则：对称性与守恒律

从对简谐振动特性的讨论中，若给定理想状态条件，我们不难发现：

  · 简谐振动的x、v、a与t 关系图像各自具有空间均匀性，改变相位即可实现平移。

  · 从具体运动过程来看，简谐振动相对于特定平衡位置的位移具有空间的轴对称性。

  · 对时间间隔t=nT(n=1,2,…)，简谐振动具有时间平移对称性，且运动过程中的位移、加速度特性使之具有时间反演性。

  · 振动过程中系统能量形式往复变化，但保持总机械能守恒。这是具体系统的时空对称性和能量守恒律。

物理学并不满足于对具体现象美的探寻，而是把目光投向理论层次的和谐统一。时间均匀性在理论上推演出机械能守恒定律，反过来这一定律必然对应特定的对称现象。对称即为某种形式的“不变”，而“不变”即守恒的涵义。因而朴素的直觉告诉我们，对称与守恒具有某种内在逻辑契合，这种直觉后来也得到了严谨的科学论证（这或许提示我们，学术的创造往往来源于直觉的好奇）。

从物理学向认识论（世界观）的延伸

物理学的发展与其他自然科学的进步密不可分、相互促进，其中物理学特别离不开数学的支持，我们便以数学为例，探求物理学中抽象出的宏观规律在自然科学中的普适性。数学是一种明晰的语言，把纷繁的具体物理现象系统整合、表达出来，在坐标体系中建立的线条则是其直观呈现形式。许多最富有魅力的数学现象都追求对称与守恒（数学中或许称为“等量”；“=”是最基本且重要的数学概念），个中实例不可尽数。

在上文中我们已指出简谐振动各特征量与时间关系之图像的对称美，而这正是三角函数的基本特征。而机械能守恒定律的数学表达正是数学学科中最基本而动人的现象——等式与方程，特定到简谐振动中，我们就通过几个简单方程的联立，戳破了系统能量强度与振幅之间在直觉上“若即若离”的关系的窗户纸，论证了二者相关联的科学性。而更加复杂的振动，数学上也不过是通过傅里叶级数不断“逼近真实”来刻画，尽管操作上可能复杂许多，但其基本思想仍是纯粹而明晰的。

作为文科生，我平日更多关注社会世界的现象，而自然界与人类社会基本构成了我们所处的整个世界的全集。见微知著，发现寻常事物之间的内在关联、进而尝试形成统一的理论认识、整合的思维模式，这或许是我从初探简谐振动过程中得到的认识论和世界观方面的基本遵循。社会科学同样有“基元”性质的模型，尤以经济学为甚，如供给-需求模型、成本-收益模型；从基元出发，我们演化出复杂的微观与宏观经济学理论，解释多变的社会经济现象，且看到很多复杂现象的内核就是那些简单到不起眼的基本道理，这与自然科学的研究发现并无二致。

同时必须看到，自然科学与人文社会科学终究在研究的对象、方法等方面有显著差别，我们追求最高理想层次的认识论、世界观的统一整合，这必然要求不同学科、不同视域之间的相互学习与吸收。例如，人文社会科学中的语言也有组合变换的灵动之美，这或许是艺术和诗意的来源，但却时常存在歧义；而禀赋科学之美感的物理学规律往往是具有可推广性、普遍性的“法则”(rule)而非仅仅是“机制”(institution)，在所有自然科学中具有最高的系统性，演绎和归纳能够实现自然统一，分类和基本概念具有本体性(ontological) 的意义，几乎摒除了意识形态、品位等主观因素的影响而又不失内在的一致、优美与和谐。因此，我们既应吸收严谨统一的逻辑品格，又不失追求和谐优美的情怀，把探索社会现象的规律性、追求人类社会的“美美与共，天下大同”作为人文社会科学研究的终极价值。

我学习本专业和高等数学、以及本文初探简谐运动的过程中无不感受到：自然科学与规律性、严谨而近乎单调，社会科学与变易性、多元多彩，上述并非是刻板印象所示的一一对应。相反，这些特质同时存在于不同学科中，又彼此借鉴、互相融合，才使得知识世界生机繁荣、研究者富有活力。而这“繁荣与活力”，恰是形构普遍的、规律性的统一认识论（世界观）的根本动力，因而我们仍要呼唤学科的深度交叉与通识教育的完善发展，在学习不同学科的过程中充分汲取营养、领会若干“金规则”，不断塑造健全的思维与人格。

参考文献
[1] 张三慧. 大学物理学:波动与光学[M]. 清华大学出版社, 2000.
[2] 张瑞明, 李湘庆. 演示物理学讲义.
[3] 赵凯华. 定性与半定量物理学[M]. 高等教育出版社, 1991.
[4] 孙海滨. 物理学中的对称性与守恒律[J]. 物理与工程(4):49-52.

来源：通识联播微信公众号（ID：boyabroadcast），作者：赵思远。