单自由度系统的运动方程-简单系统

Osmond

单自由度振动系统：可以用一个独立坐标来确定系统在任意时刻的位置及其运动规律的振动系统。

单自由度系统是最简单、最基本的振动系统。

单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。

本章（单自由度振动系统）重点：建立振动系统的运动方程，确定系统的固有频率，自由振动的响应及其特征，简谐激励和任意激励的强迫振动，共振的概念与特征。

本章（单自由度振动系统）难点：建立复杂振动系统的运动方程，杜哈美积分，共振响应分析。

1. 建立振动方程的方法

对于不同结构形式的振动系统，建立其运动方程的方法也不同。

单自由度振动系统主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定理、动能定理、动量矩定理）、计算静位移、能量法等。

重要提示：
（1）根据振动的概念，通常将运动方程的坐标原点选在静平衡位置。
（2）无论用什么方法建立振动方程，如果系统中的某重力引起弹簧静变形（或某个方向的静变形），当取静平衡位置为坐标原点和零势能点时，可以不考虑此重力及其引起的弹簧静变形（或某个方向的静变形）的影响；而取其它位置为坐标原点和零势能点时，则必须考虑它们的影响；如果系统中的重力不引起弹簧静变形，或者在与弹簧静变形方向无关的其它广义坐标上，必须考虑重力的影响。

2. 建立简单振动系统的运动方程

（1）利用牛顿定律

举例1：标准mkc系统。

mkc系统虽然非常简单，但却是许多实际结构振动问题的力学模型。

当重物偏离 x 时，受力如图

静平衡时（令动参数为零）

则振动方程为

对于无阻尼自由振动系统，方程变为

（2）利用动力学基本定理

举例2：圆盘扭转振动。

设 为圆盘相对静平衡位置转过的角度，J为圆盘对轴的转动惯量, 为使轴产生单位转角所需施加的扭矩（即轴的扭转刚度）。则

举例3：复摆。

设物体对悬挂点O的转动惯量为 ，利用定轴转动微分方程可得到用转角 表示的转动微分方程:

微振动时

（3）利用材料力学的变形公式

举例4：简支梁上质量块的横向振动。

质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面惯性矩为I。

设简支梁跨中位置的等效刚度为k，利用材料力学的挠度公式得到

则

3. 振动微分方程的统一形式

比较前面几种不同的振动系统，可以写出振动微分方程的一般形式

这里：x为广义振动位移，F(t)为与广义位移对应的广义激振力。广义加速度、速度和位移前面的系数 和 分别为系统的等效质量、等效刚度和等效阻尼。通常省略“等效”下标“eq”，即振动方程写为

4. 等效质量、等效刚度、等效阻尼的定义

使系统在某广义位移方向上产生单位加速度 （或单位位移x=1、单位速度 ），需要在此位移方向上施加的力，叫做系统在此位移方向的等效质量（或等效刚度、等效阻尼）。
举例5：求前面例4简支梁横向振动的等效质量和等效刚度。

解：(1)求等效质量

使梁在y方向上产生单位加速度 ，需要在y方向上施加的力为 ，利用牛顿定律有

(2)求等效刚度

使梁在y方向上产生单位位移 y=1，需要在y方向上施加的力为 ，利用材料力学挠度公式有

则

由此得到振动方程

（注：重力及其引起的梁对质量块的反力平衡，图中未画出）

5. 能量法

将振动系统的动能T、势能V和黏性阻尼的瑞利耗能函数 写为

对于自由振动系统，可以直接通过上式确定等效质量、等效刚度和等效阻尼。

对于无阻尼自由振动系统，振动过程中能量守恒，则

举例6：纯滚动圆盘。已知m、r、R。

解：以最低点为零势能点，任意位置动能和势能

而

则

利用机械能守恒 得到

即

也可以利用等效刚度和等效质量的概念

得到

即

6. 通过计算静变形

通过前面给出的振动系统运动方程的一般形式知道，所有系统均可简化为标准mkc系统，则通过mkc系统得出的结论具有一般性。

图示mk振动系统

由于 ，则

举例7：求前面例4简支梁横向振动的方程。

解：由材料力学得到静变形

则

振动方程