为什么在固有频率处易产生共振？

不许动

在上一篇文章《什么是共振?》中，有同行提问：为什么有的固有频率容易激发，而另外一些却不容易激发。类似的扫频激励为什么这个件会激励起来，另一个件激励不起来呢？

除了这两个问题之外，我觉得还有一个问题：为什么在固有频率处容易发生共振。所以，本文主要围绕这三个问题来进行回答。

01、为什么在固有频率处易产生共振

在频响函数中，曲线峰值所对应的波峰称为共振峰，峰值频率对应结构的固有频率，在这个峰值频率处，对结构施加很小的激励能量，结构就会产生非常大的振动响应，因而在共振峰处，结构很容易被外界激励起来。当以dB形式显示频响函数时，特别当FRF为驱动点FRF时，会发现FRF曲线中有波谷，这些波谷称为反共振峰，如图1所示，在反共振峰频率处对结构施加激励，即使激励能量很大，结构也没有响应或者响应很微弱，也就是说在反共振峰频率处，结构很难被激励起来。那为什么在共振峰处易被外界激励起来呢？

图1 FRF曲线中的共振峰与反共振峰

在《什么是共振？》一文中，我们讲到，对于单自由度系统在受简谐力的作用下，它的动态位移响应与静变形的幅值比(称为动力放大系数)在外界激励频率与固有频率之比等于1时，有极值，等于1/(2ζ)。假设阻尼比为2%，则动力放大系数为25，即动位移比静位移大25倍。其实，对于多自由度的结构而言，也有类似的表现。只不过此时，我们要明白频响函数幅值的物理意义。

FRF是响应与力之比，对于图1所示的频响函数曲线，其幅值的物理意义表示的是在单位力作用下，结构的响应大小，或者是响应的放大系数，而响应等于力乘以FRF，因此，FRF的幅值越大，放大系数越大，结构越容易被外界激励起来。我们知道，在固有频率处，FRF的幅值是有极大值的。因此，固有频率处，FRF幅值更高，结构更容易被外界激励起来，产生共振。

例如，对于图1光标所示的三个频率：在共振峰300Hz处，FRF幅值为37.87dB；而在反共振728Hz处，幅值为-29.24dB；在共振峰与反共振峰的中间频率1122Hz处，幅值为7.05dB。而37.89dB约为79倍，-29.24dB约为1/29倍，7.05dB约为2.25倍。因此，在相同幅值的激励力作用下，在这三个频率处，响应分别被放大约为79倍，1/29倍和2.25倍。从这几个数值可以看出，在固有频率处，结构很容易被外界激励起来，产生共振；而在反共振峰处，结构很难被激励起来。其实，也可以从另一方面来理解，对于加速度的FRF和动刚度曲线的峰值是相反的，如图2所示。

图2 加速度FRF与动刚度曲线

在图2中，红色曲线是FRF，绿色是对应的动刚度曲线。在共振峰处，动刚度有极小值，也就是说，在这个频率处，结构的刚度非常弱，容易被外界激励起来，对结构施加很小的激励，结构就会产生非常大的响应。而在反共振峰处，动刚度曲线有极大值，表明在这个频率处，结构的刚度非常大，很难被激励起来。刚度大，则表明结构抵抗变形（振动响应）的能力强，则变形小。

02、为什么有的固有频率容易被激发，而另外一些不容易

要使结构产生共振，要求激励频率要与某阶频率非常接近或相等。但除了这个因素之外，还要考虑FRF在不同固有频率处的幅值相对大小，幅值越大，越容易被外界激励起来；幅值越小越不容易被外界激励起来。我们知道，阻尼会影响FRF的幅值大小，如图3所示。阻尼越大，则FRF的幅值越低，因此，相对于那些小阻尼的固有频率而言，大阻尼的固有频率就更难被外界激励起来。或者说，相同的激励，在这些大阻尼的固有频率处的响应会更小一些，相对而言，更难被外界激励起来。

图3 不同阻尼比下的FRF幅值大小

另外一个方面，响应的大小还跟测量位置有关，我们知道固有频率是模态参数之一，模态振型有节点，在节点处，这阶模态的响应等于0，而不同阶模态，节点位置是不同的。因此。如果某一阶固有频率实际上已经被激励起来了，但是测点刚好位于这阶模态的节点位置处，那么，这阶模态（固有频率）好像看起来就像没有被激励起来一样。

从频率上讲，结构有容易被外界激励起来的共振峰和不容易被外界激励起来的反共振峰。相同的道理，从空间位置来讲，对于同一阶模态（固有频率）而言，有响应最大的反节点位置，也有响应为零（响应最小）的节点位置。因此，除了激励频率，幅值大小之外，我们还要考虑测点位置。

03、类似的扫频激励为什么这个件会被激励起来，另一个件却激励不起来呢？

首先，我们要明确扫频激励的频率范围内是否存在结构的固有频率，如果在这个扫频范围内，没有固有频率，那肯定激励不起来。另一方面，如果存在固有频率，还要考虑结构的阻尼大小，从图3可以看出，阻尼大的更难激励起来。

另外，还要考虑激励位置，与上一个问题相同，如果激励位置位于这个件这阶固有频率对应的模态的节点位置，或者靠近节点位置，那么，这一阶模态肯定是很难激励起来的。

mxlzhenzhu

因为 这是共振的定义