请教振动问题逐步积分解法中稳定性的判定标准.

bendashao · 发表于 2006-8-15 12:04

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1.利用放大矩阵的谱半径-----是否这种方法只使用于线性系统?
2.有些积分稳定的判别条件形如:delta t/T<1/PAI 这和利用放大矩阵的谱半径的方法是统一的吗?
3.在形如delta t/T<1/PAI判别式中的T是指什么,是考虑阻尼还是不考虑阻尼的周期?
4.稳定性的实质是什么,我查到的资料上只是说了不稳定是由于数字的取舍把误差放大了,而稳定性的定义是---导出有界的结果,误差有正有负,放大误差为什么一定导致无界呢?有没有更具体,更数学性的解释?
5.逐步积分法是否可用于非线性体系的原因,我查到的资料上并没有说明,有没有统一的判定标准?
或者是告知我哪里有资料可以解决上述问题,在此谢过了.

gghhjj · 发表于 2006-8-19 01:22

第一个问题，你说的是模态法或者叫谱分析法吧
这种方法是基于模态分析，将有限元离散化后得到的多自由度系统运动方程转换成对应每个模态的单自由度系统运动方程，然后就单个自由度系统的运动方程，通过时域积分得到放大矩阵，利用该矩阵的谱半径作判断得到系统最大特征频率，从而给出稳定性条件

由于模态分析只能适用于线形系统，所以该方法也只适用于线性系统

第二个问题
delta t/T<1/PAI这一判别式是对部分积分格式的判别方法，对于这些积分格式而言，它仅仅是谱半径法的一个充分条件

第三个问题
这个就涉及到具体的对象了，对振动问题不太了解，不过个人认为，这个周期应该是你所研究系统的周期
换句话说就是你的系统考虑阻尼，那这个周期就需要考虑阻尼，系统不考虑阻尼，那这个周期就不考虑阻尼

[ 本帖最后由 gghhjj 于 2006-8-19 02:03 编辑 ]

gghhjj · 发表于 2006-8-19 01:53

第四个问题
个人理解，他的意思是说，如果该误差会被放大的话，这里假设放大系数为a>1

假设初始引入的误差为x0
假设第一步引入的误差为x1
......

那么迭代n次之后其总的误差为

a的n次方乘以x0+a的n-1次方乘以x1+.....

当n->无穷时，确实有可能存在若干组可能的x0,x1,x2....使得误差有界
但是这种可能性和使得误差为无界的x0,x1....相比，微乎其微，是个小概率事件

另外即使总误差有界，绝大部分情况也和实际结果相差十万八千里

gghhjj · 发表于 2006-8-19 01:57

第5个问题

当前这个问题还没有一个定论，实际上现在对于非线性问题的研究，绝大部分采用的还都是线性思维
尤其是在数值模拟领域，这些在理论上都还没有定论，结果是否正确也很难说

目前很多模拟结果说他正确仅仅是从他的结果和工程实际还是比较接近的这点来说明的

bendashao · 发表于 2006-8-19 09:29

谢谢gghhjj了!

[ 本帖最后由 bendashao 于 2006-8-19 09:31 编辑 ]

霜影 · 发表于 2006-8-20 19:19

第5个问题，在建筑结构的非线性动力分析中，常用的逐步积分法如Newmark，在每一个时间间隔内，动力方程转化为非线性的代数方程组，进而可采用诸如Newton－Raphson之类的迭代法求解

gghhjj · 发表于 2006-8-21 06:27

原帖由霜影于 2006-8-20 19:19 发表
第5个问题，在建筑结构的非线性动力分析中，常用的逐步积分法如Newmark，在每一个时间间隔内，动力方程转化为非线性的代数方程组，进而可采用诸如Newton－Raphson之类的迭代法求解

Newmark其前提是一个线性加速度假设，算法本身还是基于线性的，从本质上讲其结果是否正确也是缺乏理论上的证明

当然现在Newmark还使用的比较多的，在求解非线性方程时，采用比较多的是增量型的Newmark法

bendashao · 发表于 2006-8-22 09:10

稳定的判定准则是放大矩阵，但放大矩阵既和算法的假设有关还和所针对的系统有关，但我看到的书中都
写的是算法是无条件稳定，而不谈系统的问题，这样对吗？

gghhjj · 发表于 2006-8-23 09:37

原帖由 bendashao 于 2006-8-22 09:10 发表
稳定的判定准则是放大矩阵，但放大矩阵既和算法的假设有关还和所针对的系统有关，但我看到的书中都
写的是算法是无条件稳定，而不谈系统的问题，这样对吗？

算法的稳定性那是从数学的角度上讨论的问题，显然他是针对某一类方程而言的
对应到实际物理系统中，它应该是一类系统。

无条件稳定的算法很多吗？不觉得啊，就算是无条件稳定绝大部分也是有一定约束条件的，要不然的话大家都用那个算法好了

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不好意思，这里我又个问题。