[原创]关于FFT的结果为什么要除以N

yangzj · 发表于 2006-8-28 22:25

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关于这个问题，我看到的书好像都没有进行解释，这里我试着解释下：
首先，离散付立叶变换的定义本身比连续付立叶变换少了一个dt(采样时间间隔）；
然后，对于单频率成分的信号来说，经过矩形窗截断后的频谱在其信号频率处将放大T（做谱时间长度）倍，同样，对于相隔较远的多频率成分信号来说，相应的频率成分的幅值均将因截断而被放大T倍。
综合考虑这两种原因的话，也就是说我们用FFT做出的谱实际上是放大了T/dt=N（做谱点数）倍，因此，必须将此结果除以N。
以上是对于单频率或相隔较远的多频率成分信号而言的，其他的情况得具体问题具体分析了，如加的是其他窗，就要考虑幅值恢复系数。密集频率成分的考虑等等。

[ 本帖最后由 yangzj 于 2006-8-28 22:29 编辑 ]

sunning · 发表于 2006-8-28 23:06

解释的有道理，不过我感觉之所以除以个N，是因为我们在进行离散傅立叶变换时，是连加的，将所有采样的点都加在了一起，所以最后要除以N，不知说得对不对。

yangzj · 发表于 2006-8-29 08:14

原帖由 sunning 于 2006-8-28 23:06 发表
解释的有道理，不过我感觉之所以除以个N，是因为我们在进行离散傅立叶变换时，是连加的，将所有采样的点都加在了一起，所以最后要除以N，不知说得对不对。

一开始也是这么想的,可后来觉得这样解释不对.
因为有时这样解释是不对的,例如你构造一个低通滤波器序列,照这样解释的话它的频谱同样得除以N,但事实上并不需要,这主要的原因就是它本身是一个连续频率成分.

qzyxm · 发表于 2006-8-29 11:22

原帖由 sunning 于 2006-8-28 23:06 发表
解释的有道理，不过我感觉之所以除以个N，是因为我们在进行离散傅立叶变换时，是连加的，将所有采样的点都加在了一起，所以最后要除以N，不知说得对不对。

学习中

songzy41 · 发表于 2006-8-29 14:38

对于单频率的信号，经过矩形窗截断后，在频谱上为什么要乘以2/N来求得该信号的幅值，这可以经严格的数学推导得出的，它是由sinc函数产生的。现把它的推导过程列于下：

多情清秋 · 发表于 2006-8-29 14:50

这个问题以前simon21好像解释过，基本songzy41的类似，不知道在那个帖子的回复里了

w89986581 · 发表于 2006-8-29 16:17

Parseval定理

sealight · 发表于 2006-8-29 16:37

FFT是个算法，至于点数N的处理，有些教科书上是除在FFT上，有些是除在IFFT上，因为FT是个变换，所以要保证 x=IFFT( FFT(x) )成立。

具体的计算公式还是要去研究DFT的一些东东，请楼主不妨参考一下这篇文献：严普强等，动态测试信号处理中时-频域变换算法的讨论，振动测试与诊断，23（2），2003：120-124。对傅氏变换，傅立叶级数等一些基本概念做了比较详细的讨论

yangzj · 发表于 2006-8-31 20:43

原帖由 songzy41 于 2006-8-29 14:38 发表
对于单频率的信号，经过矩形窗截断后，在频谱上为什么要乘以2/N来求得该信号的幅值，这可以经严格的数学推导得出的，它是由sinc函数产生的。现把它的推导过程列于下：

感谢songzy41推导.
从宏观上来看,我觉得用我上面的两点来解释也是没错的,呵呵,请大家拍砖.

yimao · 发表于 2006-10-9 17:09

原帖由 sealight 于 2006-8-29 16:37 发表
FFT是个算法，至于点数N的处理，有些教科书上是除在FFT上，有些是除在IFFT上，因为FT是个变换，所以要保证 x=IFFT( FFT(x) )成立。

具体的计算公式还是要去研究DFT的一些东东，请楼主不妨参考一下这篇文献：严 ...

同意，除以N，是为了傅立叶逆变换的时候在数值上相应，其实对于分析来说意义并不是很大，所以除跟不除以N关系不是很大

junzifei · 发表于 2007-1-13 10:20

yimao
说得对
我也是那么认为的
fft与ifft有多种对应方式
上面的一种比较通用
哈哈

liliang · 发表于 2007-4-6 22:57

yimao
说得对
我也是那么认为的
fft与ifft有多种对应方式
上面的一种比较通用

Robotech · 发表于 2007-4-20 10:09

RT
ms在第八章
现有刘树棠中译版

liliang · 发表于 2007-4-21 22:12

支持

eddie1982 · 发表于 2007-7-17 16:29

怎么一会N一会N/2??

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Lathi的《signal and system》中有解释