[转帖]随机有限元的理解

飞天一笑

随机有限元（SFEM）或称概率有限元（PFEM），基于随机有限元的可*性分析可以尽可能真实地评价简单或复杂系统的可*性。它类似于确定性的有限元分析，但在分析中考虑了变量的不确定性。

    在结构分析中，可*性评价方法在单个构件或简单子结构中发展了许多成熟的解析算法，当研究对象扩展为整个体系结构时，解析算法的应用举步维艰，研究者不得不退而求其次，采纳基于经验化和许多假定的简化近似方法。产生以上问题的原因在于解析算法仅适用于结构显式功能函数。当结构复杂度显着增加，如自由度和随机变量数目的增多、非线性和动力效应的引入等，结构荷载和抗力相关的功能函数便具有了隐式特征，解析算法难于求解而不再适用。与此相对应的，有限元方法能够尽可能真实地再现各类结构的组成、连接、支撑、非线性状态、加载失效过程，有效地求解各类复杂结构实际行为，但是确定的有限元方法不能考虑变量的随机性，这样限制了有限元方法在可*性分析中的应用。为了兼得两种方法的长处，产生了随机有限元（SFEM）或称概率有限元（PFEM）的思想，基于随机有限元的可*性分析可以尽可能真实地评价简单或复杂系统的可*性。它类似于确定性的有限元分析，但在分析中考虑了变量的不确定性。

    学习随机有限元需要两方面的知识基础：
　　1. 确定性有限元算法；
　　2. 概率论及可*度分析理论。

    可以参考如下书藉：
    [1] Achintya Haldar, Sankaran Mahadevan. Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, inc., 2000.
    [2] Haldar A., Mahadevan S. Probability, Reliability, and Statistical Methods in Engineering Design. Wiley, New York, 2000

    随机有限元方法作为一种可*度分析算法,主要目的在于回答一种事件或现象出现的可能性大小,当然这依赖于相应的确定性算法是否具有足够的分析精度,也取决于我们所掌握的信息资料.举个例子,当需要评估一座房屋在其使用期内台风破坏及可能的经济损失时,首先预测使用期内它可能遇的最大台风风速,而后在此基础上,进行该台风风速作用下的房屋风致动力响应分析,在这个过程中可以发现有许多参数并非是一个确定性的数值,比如最大台风风速为介于Vmax和Vmin之间,风速场空间相关因子分布于7至21之间,采用确定性数值输入也必然得出确定性的结果,多个分析结果也位于某一区间,呈现某种分布.更多的时候,完成所有这种确定性参数到确定性结果工作是不现实的,这样看起来很难得出肯定性的分析结论,那么如何判断房屋是否破坏呢?可*度算法应运而生.
   
    随机有限元仅是众多可*度算法中的一种,擅长解决复杂结构体系隐式功能函数的验算法点求解问题,它在确定性方法基础上溶入敏感度分析技术和改进二阶矩方法,从理论上讲它可以包含所有确定性方法的特征,比如考虑非线性效应和动力响应计算,其求解结果除可以给出确定性算法结果外,亦可求解响应的均值,方差和可*度指标.但是在实际应用中,由于计算效率和稳定性等方面的要求,需要忽略一些因素的作用,如减化动力及非线性求解步骤,对结构模型进行等效凝缩等.

    在实际工程中,确定性算法难于回答许多关键问题,可*性的分析结论或许提供给工程师更好的解决问题的办法.尽管目前,可*度算法也面对理论分析与应用方面的种种问题,但随着人们观念的转变和技术水平的发展,有理由相信这种算法本身所孕含的潜质一定会发扬光大.

    随机有限元中心思想是对功能函数采用更加精细的描述，而这种描述建立在确定性复杂结构有限元算法的基础之上的。随机有限元的基本求解式可以表达为：〆g/〆xi，式中g为功能函数，xi，为基本随机变量，每进行这样一次计算便需要进行一次结构有限元分析过程。通常，随机有限元简单、方便的作法是将确定性有限分析过程作为子函数进行调用，每扰动基本随机变量便需进行功能函数求偏导计算，结合二阶矩方法（如改进行一次二阶矩或二次二阶矩），迭代进行验算点求解分析。
　　
    基于上述过程，可以总结随机有限元方法的基本计算信息：
　　1.确定性的有限元建模；
    2.功能函数选择；
    3.基本随机变量的概率描述与等效正态化方式；
    4.基本随机变量扰动分析，可以采用摄动法或差分法；
    5.验算点迭代算法；
    6.验算点迭代收敛判定准则。
　　
    上面过程为最一般的求解思路。可以发现调动确定性分析程序过程最为耗时，如果再考虑非线性、动力荷载较应，完成复杂结构的随机有限元求解很多时候几乎是不可能，这样有必要工这一环节采用半解析化的处理方式，这也是随机有限元的难点所在。
来自：http://www.e-works.net.cn/ewk200 ... 08/Article31072.htm

xuwu

文章写得很不错，我也写了一篇关于随机有限元的文章，有时间请你指教。