有限元和有限差分（科普）

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有限元和有限差分

1960年，美国克拉夫首先提出了有限元法，为把连续体力学问题化作离散
的力学模型开拓了宽广的途径。有限元法的物理实质是：把一个连续体近
似地用有限个在节点处相连接的单元组成的组合体来代替，从而把连续体
的分析转化为单元分析加上对这些单元组合的分析问题。

    有限元法和计算机的结合，产生了巨大的威力，应用范围很快从简单
的杆、板结构推广到复杂的空间组合结构，使过去不可能进行的一些大型
复杂结构的静力分析变成了常规的计算，固体力学中的动力问题和各种非
线性问题也有了各种相应的解决途径。

    另一种有效的计算方法——有限差分方法也差不多同时在流体力学领
域内得到新的发展，有代表性的工作是美国哈洛等人提出的一套计算方法，
尤其是其中的质点网格法(即PIC方法)。这些方法往往来源于对实际问题
所作的物理观察与考虑，然后再采用计算机作数值模拟，而不讲究数学上
的严格论证。1963年哈洛和弗罗姆成功地用电子计算机解决了流体力学中
有名的难题——卡门涡街的数值模拟。

    无论是有限元法还是有限差分方法，它们的离散化概念都具有非常直
观的意义，很容易被工程师们接受，而且在数学上又都有便于计算机处理
的计算格式。计算力学就是在高速计算机产生的基础上，随着这些新的概
念和方法的出现而形成的。

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有限差分是直接离散微分方程，有限元法，有限体积法和边界元法都可看作是加权余值法的特例

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有限差分法是离散微分方程，整个物体只有一个单一的函数，有限元则是有很多的函数，根据不同的作用域

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有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个 互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

        有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
        构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

ant008

楼上说得很好啊，计算机不能计算无限的东西，只能离散成有限的点。理论上讲，只要离散得足够，结果就能精确到任何你想要的精度。

sun114cn

恩，在此受教了，正在搞这方面的东西。

symbol2008

有限元法可以从变分原理或加权余量推导出，收敛的条件要满足夫斯德里斯条件(参见 钱伟长先生的有限元著作)，主要解决椭圆方程。
差分则可以解决双曲方程或抛物方程，但不一定收敛，要考虑单值性条件。