求教有限差分与有限元的比较

flowing

现在，用有限元法也可以进行 CFD 模拟，那么占 CFD 模拟统制地位
的有限差分法，它与有限元法相比，优势是什么呢？

[ 本帖最后由 xinyuxf 于 2007-7-25 15:15 编辑 ]

ljwin82

三种方法是有限体积法，有限元法和有限差分法
现在大多数流体模拟软件都用有限元和有限体积法
至于它们的区别你随便找本计算流体力学的书都有

chaobo1982

有限差分法
这是历史上最早采用的数值方法，对简单的几何形状中的流体流动与换热问题也是一种最容 易实施的数值方法。其基本特点 是：将求解区域用与坐标轴平行的一系列网格线的交点所组成的集合来代替，在每个节点上，将控制方程中每个导数用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上形成一个代数方程，每个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程就获得了所需的数值解。由Taylor展开式来导出，这种方法又称为建立离散方程的Taylor展开法。有限差分法的主要缺点是对复杂区域的适应性较差及数值解的守恒性难以保证。                              
有限容积法
在有限容积法中将所计算的区域划分成一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点作为代表。通过将守恒型的控制方程对控制容积做积分来导出离散方程。在导出过程中，需要对界面上的被求函数本身及其一阶导数作出假定，这种构成的方式就是有限容积法中的离散格式。用有限容积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数的物理意义明确，是目前流体流动与传热问题的数值计算中应用最广的一种数值方法。
有限元法
在有限元法中把计算区域划分成一系列元体（在二维情况下，元体多为三角形或四边形），在每个元体上取数个点作为节点，然后通过元体对控制方程做积分来获得离散方程。它与有限容积法区别主要在于：(1)要选定一个形状函数，并通过元体中节点上的被求变量之值来表示该形状函数。(2)控制方程在积分之前要乘上一个权函数，要求在整个计算区域上控制方程余量（即代入形状函数后使控制方程等号两端不相等的差值）的加权平均值等于零，从而得出一组关于节点上的被求变量的代数方程。
有限元法的最大优点是对不规则区域的适应性好。但计算工作量一般较有限容积法大，而且在求解流体流动与传热问题时，对流项的离散处理方法及在不可压流体原始变量法求解方面没有有限容积法成熟。
有限分析法
有限分析法是由美国籍华裔科学家陈景仁教授于1981年提出的。在这种方法中，也像有限差分法那样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每一个节点与相邻的4个网格（二维问题）组成计算单元，即一个计算单元由一个中心节点与8个邻点组成。在计算单元中把控制方程的非线性项（如Navier-Stokes方程中的对流项）局部线性化（即认为流速已知），并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出其分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。有限分析法可以克服在高Reynold数下有限差分法及有限容积法的数值解容易发散或振荡的缺点，但其计算工作量较大，而且其系数不像有限容积法中那样有明确的物理意义，对不规则区域的适应性也较差。
另外还有边界元法，谱分析方法，数值积分变换法，格子-Boltzmann方法等。