两种分岔的区别

无水1324

最近很迷惑的：
1、在定性分析中，随着参数的变化，解的个数的改变，称为分岔。这里可以准确看出它是解的个  数发生了改变，有关方面可以看陆启韶老师和陈老师的书都有。然而
2、在定量分析中，(数值仿真)，分岔图，是以周期1解，周期2解，这种形式画图的，二者有本质的差别。很迷惑又都叫分岔图。

请高手指点迷津！谢谢！

shenyongjun

分岔的定义：随着某一系统参数的改变，如果系统的解（平衡点或者周期解）的个数、类型、稳定性发生了改变，则称之为分岔。

因此你说的两种情况并不矛盾。

无水1324

类型发生改变？就是所谓的周期n解随着参数改变吗？

哈，谢谢你申老师，我一直都没有看到这样的定义！

gghhjj

原帖由 无水1324 于 2007-6-16 21:13 发表

                               
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类型发生改变？

hopf分岔不就是吗？从平衡点到极限环的跃迁就是解类型的变化

gghhjj

原帖由 无水1324 于 2007-6-16 10:10 发表

                               
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最近很迷惑的：
1、在定性分析中，随着参数的变化，解的个数的改变，称为分岔。这里可以准确看出它是解的个  数发生了改变，有关方面可以看陆启韶老师和陈老师的书都有。然而
2、在定量分析中，(数值仿真)，分 ...

两者没有什么问题周期n对应的平衡点数就应该是n个平衡点

无水1324

这个是不同的，一个是解的周期数目变化，一个是解的周期改变。这二者之间是有差别的

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-6-18 12:08 编辑 ]

无水1324

根据申老师的解释应该还行得通，因为在现在看来没有文章去区分这两种情况的

studyboy

分岔分为两类：一类是静态分岔，主要是指解的稳定性、数目等方程变化；另一类是动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（一周期-->二周期）等。

个人理解，请大家多多指教！

hohoo

在陈予恕的《非线性振动》上对分叉这样定义：动力系统的分叉现象是指随某些参数的变化，系统的动态行为发生质的变化，特别是系统的平衡状态发生稳定性改变或出现方程解的轨道分枝。因此这是分叉的两种情况。

无水1324

现在基本上明白了，多谢各位指点迷津！

中原

一般说来，非线性方程中某一参数在其某一值邻近微小变化将引起的解（运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变，次现象即为分岔（分叉、分支、分歧  bifurcation）,这个临界值即为分岔值

这些概念初看起来有些抽象，所以本人常常这样理解分岔，一个非线性方程含有一个（多个）参数说明这个方程不是一个方程而是一族(多族)方程，如果一族有相同性质的方程的意思的话，那就把一族改为一系列方程，这个系列就是有参数来控制着，选择不同参数会得到不同非线性方程，当选择到某一个参数时，发现选择前的方程和选择后方程发生了质的的改变，至于质的改变衡量标准就是定义中所讲，如果它们都是描述力学系统，则说明力学性态改变了甚至可以描述不同力学系统，这时就发生了分岔，这个临界值就是分岔值喽，如何求这个分岔值呢（数值方法），由上面的说明大概已经找到了一点方法，就是对参数以某个步长不断变化比较前后方程性态（判断方法），找到这个小区间，进行变步长.....,最后得到可以接受的近似分岔值

无水1324

谢谢，假如我数值法得到了一个分岔点，那怎么用定性的方法求得这一点呢，有时候我求得的分差方程的最高次数为28，那么要对其进行分析，就比较困难了

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-6-19 08:36 编辑 ]

中原

最好用龙特-库塔方法求解比较精确，
至于定性方法，分析静态分岔是比较简单，但动态分岔就比较麻烦，用到的方法有李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）、中心流形法、庞家来-伯克霍夫范式（PB范式）、奇异性理论（识别问题，开折问题，分类问题）、Hopf分岔控制等，更麻烦的有同宿异宿轨道等，不过这个时候需要的数学知识非常多了（数学水平不高或不喜欢数学的人干脆改行吧，本人常常苦恼自己为什么不是数学系的学生或者有一位数学高手指导呢,唉，全靠自己）:@(

无水1324

是的
我的系统是参数激励系统，所以还不能够直接定性分析。转化后遇到很多困难

gghhjj

可以试试切比雪夫多项式法等来获得近似周期轨道