[转帖]从在科大的切身感受谈计算数学的普及、教育和发展

kkkttt · 发表于 2005-11-24 20:19

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刘儒勋 （中国科学技术大学数学系，安徽合肥230026；liurx@ustc.edu.cn） 2001.8 让我在诸位教授专家学者面前，谈及自己对《计算数学的教学和普及》的一些感 受，既荣幸又惶恐。因为这里不乏计算数学界的"前辈"，更多的是各有绝招、 秘籍，卓有才气的年青新秀。算了，豁出去了，讲讲真心话，谈谈个人的感受和 意见吧。丢人显眼也就是它了。好在现在不揪辫子，不打棍子了。看在讲真话难 得的份上，请诸位包涵着点吧。 一．我所感受到的中国计算数学发展历程 我是抱着"学好数理化，走遍天下都不怕"的"信念"，1957年考入北京大学数 学力学系的，后来中国正式开办《计算数学专业》，就是我们北大数力系的1957 级的计算数学专业，当时教我们的有计算数学元老徐献瑜先生，胡祖织先生，当 时的年轻教员吴文达，陈永和等。这就是说我们是中国第一届计算数学专业的学 生，好光荣吧。然而身历了铺天盖地的"反右"，"除四害"，"三面红旗"， "教学革命"，几经沧桑，饱受磨难，又延长学制一年。1963年毕业后，因为 "家庭出身"而使献身国防科研的"壮志"未酬，才执笔任教于中国科学技术大 学数学系。冯康先生当时还兼任计算数学教研室主任，后来是石钟慈先生。由于 科技大学办学的"所系结合"政策，当时中科院计算中心的许多年轻学者，曾经 对科技大学的计算数学作出过贡献。 从1963到现在，算算差不多40年了。但是我们这一代人，似乎命运就该"折腾"， 就要遭"磨难"。才教了一年半学，就得参加"四清"，接着"文革"，"战略 下迁"，等等。这期间我幸运地参加了近15年的所谓"外协"军工等的科研任务。 77年国家重新高考招生以后，才又走上了讲台。80年代中期以来，职称评级开始， 开始在科研上有较多投入。后来带研究生、博士后，涉及的计算数学课题、方向 就更多：如计算流体力学，间断解方法，非标准有限元法，有限体积方法，偏微 分方程反问题，运动界面追踪方法，等等。 我们送走了一届又一届的毕业生，可惜的是大多数的优秀人才流向海外。他们在 优良的学习、科研和教学环境下，成为我们所说的"计算数学"的佼佼者。受聘 于国内，"特聘教授"、"长江学者"。现在他们回来了，为中国的计算数学和 科学与工程计算，在教学、科研和人才培养中做出贡献，回报祖国。 诸位，我讲这些的目的，是希望你们能够从我的计算数学"个人"轨迹，尽管有 其特殊性，也能够大概窥测到中国计算数学专业产生、发展的不平历程。换句话 说，大家可以看到和想象得出，我国的计算数学，尽管根据当时苏联的模式、课 程设置和方向开办的相当早，但是由于历史的原因，同国家和人民一样历经艰辛， 几经曲折，能够走出今天的新形势，实在不容易。那是许许多多计算数学先辈、 学者、青年和学子，努力奋斗默默奉献的结果。 现在，就中国的计算数学和科学计算专业发展的不平凡历程，来谈谈个人的看法。 （1）创建，在封闭与磨难中挣扎、成长时期（1975年前） 50年代，通过中苏的学术交流，科学院和一些重点大学开始形成了计算数学的专 门化方向。科学院的计算技术所引进了苏联的（БЭСЫК）104计算机，那是 一个由各种电子真空管、继电器等等构成的庞然大物，有半个篮球场大，然而每 秒也只有一万次的运算速度。现在说起来太不起眼了，在当时可是宝贝得不行， 神秘得很，就是能够去哪儿看看也不容易。 北京大学和吉林大学，按照苏联模式最先建立了计算数学专业。采用的课程设置， 教材，甚至教学内容也都是苏联的。1958年中国科技大学建校，后来也设置了计 算数学专业，冯康先生及计算所的许多学者曾经来科技大学任教，为计算数学专 业作过贡献。当时的计算数学学生也真学的不容易，硬是利用台式的手摇或电动 的计算机作实习计算。只有在作科研任务，或者毕业设计时，才能够真正编程上 电子计算机。回想当时，半夜里轮到我们上机，由北大28斋宿舍，怀着激动的心 情、兴冲冲地赶到数里外的计算所上104机的那种情景，仿佛仍然历历在目。那 种心情，现在的学生是无论如何也体会不到的。 但是好景不长，很快铺天盖地的"反右"、"三面红旗和大跃进"、"除四害"、 "反修"、"教育革命"，最后是"文革"浩劫，一个接一个的运动，老师和学 生经历了惊涛骇浪人人自危。计算数学也和其他学科一样，在风雨飘摇中挣扎。 学生怕"白专"、老师恐"右倾"，而后"修正主义"、"资本主义"、"黑五 类"和"反革命"帽子漫天飞。到头来谁还敢学习，搞科研？！倒是什么"甩手 疗法"、"鸡血疗法"却风行一时。提倡考试可以"交头接耳"，"交白卷"成 了英雄。真是"宁要社会主义的草，也不要资本主义的苗"！反帝又反修，资料 和期刊没有了，参考文献和内外的科学资料断了来源。最终自己把自己封闭和禁 锢起来，甚至处于窒息！ 在这期间，国外的计算数学和许多其它科学一样正值迅猛发展、突破的时期。 1965年计算流体力学兴起，计算技术和计算机科学日新月异。计算数学在有限差 分方法的理论，有限元方法的理论和应用，间断解的存在唯一性理论，大规模的 科学工程计算方法的研究，曲线、曲面造型和CAD技术，等等，许多重要的方向 上都有质的突破和创新。 实在是中国科学的悲哀！ 然而即使在这混沌之中，祖国大地上仍有辛勤耕耘、默默奉献的莘莘学子。 1965年冯康先生发表了著名的论文《基于变分原理的差分格式》，这是中国有限 元方法的奠基性文献，也是世界有限元方法的开创性文献。丘成桐先生在《中国 数学未来发展之展望》一文中指出：中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的 主要有三个方面，一是陈省身先生的示性类理论，一是华罗庚先生的多复变函数 方面的工作，一是冯康先生的有限元方面的工作，都具有开拓性的贡献。 同时，许多的国内的军、民科研院所和大学的专家学者，工程技术人员，为了祖 国的国防和科学，仍然不畏艰险从事科学工程计算，开拓着计算数学的田野。 北京大学的爆炸波计算组参与了中国强爆炸的数值计算任务，并且对差分方法、 间断解的人工粘性技术等作了很好的理论总结。中国科技大学的科研协作组，对 具有内冷却的涡轮叶片温度场进行了有限元计算，后来发表于中国科学。有趣的 是，发表该文的同期中国科学上同时刊登了关于撤消邓小平党内一切职务的决议。 而且，85%的篇幅是有关反击右倾翻案风的政治内容。就是科学论文之前，也要 再三引用"语录"。 （2）改革开放、恢复发展时期 77年恢复高考招生后，大批的优秀知识青年，抱着对知识的渴求考入大学，许多 佼佼者进入计算数学专业学习，例如中国科技大学的舒其望、鄂维南等，湘潭大 学的许进超、袁亚湘，等等。计算数学的春天终于来到了。 封闭、禁锢逐渐地被打破，外面五花十色的计算数学天地展现在我们眼前。许多 的文献、资料摊到面前。我们看清了国外计算数学的发展和我们的差距。原有的 计算数学老师、专家学者恨不得一下子追回失去的时间。调研，学习，奋进。学 生们的奋发、如饥似渴的求知精神，见所未见。 计算数学队伍迅速恢复和壮大。其中也有在十年动乱中，从事军工、工程科研计 算的工程技术人员转行，进入计算数学和计算科学研究队伍。并且开始形成多个 计算数学教学和科研的中心。例如中科院计算中心、北京大学、复旦大学、吉林 大学、中国科技大学、南京大学，等等。 与此同时，中国的计算流体、计算物理、计算化学、计算水动力学，等等的各种 学会、组织有如雨后春笋破土而出。特别是中国计算物理学会1980年筹备，1981 年创立，集合了中国许多学科的数值计算和计算机模拟的专家、学者和有为年青 新秀。各种有关计算数学、科学计算和计算机数值模拟算法的期刊、杂志和学术 交流，形成了百花齐放、万舟竞发的蓬勃局面。 但是，在这时也已经现显了一种日渐增强的危机，即优秀计算数学人才的流失。 例如前面提到的舒其望、鄂维南、许进超等都留学美国，有的已经成为美国公民。 （3）内外交流，人才竞争，全面走向世界 1994年冯康先生倡导召开的计算数学华人青年学者香山会议，标志着中国计算数 学开始走向世界，国内外计算数学的交流、互访跃上了新阶段。其主要的标志和 发展阶段是： 大批的国外的留学生受邀，或者自动回到母校和有关院校，进行学术交流和访问。 他们把国外，尤其是美国计算数学的近代发展、应用研究和前景，向我们提供了 最直接的第一手资料。同时，我们也有计划地派出教员、研究人员出国访问和合 作研究。就以中国科技大学数学系为例，自90年代初以来，受邀来访的国外专家、 学者已经超过100人次。而派出学习、访问和合作研究的教师更不下100人次。仅 仅2001年在科技大学数学系举办的全国研究生暑期学校，单单科学计算专业而言， 我们就邀请了国外在各有关方向颇有造诣的著名的8位计算数学专家，作了前沿 报告和主讲选修课。 进一步，我们国内的许多院校和科研院所相继聘任了国外著名的专家、学者为特 聘教授、研究员，或者"长江学者"。这样以合作协议的形式，使学术交流和合 作研究更加得以保证。例如，鄂维南、许进超等被北京大学聘任，舒其望为科技 大学聘为计算数学的"长江学者"。他们都有几个月的时间回来进行授课和合作 研究，甚至带博士生和博士后。

kkkttt · 发表于 2005-11-24 20:19

在国家自然科学基金委、教育部、科学院和计算数学和应用物理研究所的资助下， 北京大学、计算数学所、计算数学和应用物理研究所，已经建立了各种由国内外 知名学者主讲的培训学校，并且已经形成制度和确立了必要的规则。这不仅为国 内外的学术交流，开辟了一条渠道，尤其是为计算数学高级人才的培养和有关院 校教育、研究队伍的提高，作出了贡献。 国内的情况有目共睹，计算数学和科学计算的有关学术活动正是如火如荼，风起 云涌。 同时我们可以看到人才的竞争已经在国内外展开。国内的人才流动以前所未有的 势头越来越强劲。而且已经发展成为世界范围内的流动潮，其势无法遏制。当前 主要是为局部政策、软件、硬件设施和经济条件制约，今后可能会有所变化。但 是，不管怎样，这种人才的竞争而形成的人才流动将持续下去。仍然以科技大学 的计算数学为例，过去计算数学专业培养的20多位硕士、博士和博士后，除了仅 仅有俩位留校任教外，都分别留学国外和服务于重要的公司，或者为有更高条件 的院校所招揽。正因为如此，新的计算数学中心也会形成。 二．中国科技大学计算数学教学情况与存在的问题 作为一名中国科学技术大学数学系的教师，根据数十年来的教学实践和认识，来 谈谈我们计算数学专业的教学情况。 1．本科生教学内容和课程设置 80年代末以前。基本上是沿用的苏联模式，尽管后期有许多的改变，但是基本模 式没有变。四种专业基本课程是：《数值分析（包括误差分析、函数逼近、数值 积分、方程求根和常微分方程数值解）》，《线性代数方程数值解法》，《偏微 分方程数值方法》，《程序设计》。辅助课程是：《应用力学》，《变分方法》， 《计算实习》。特别还有习题课，助教老师能够手把手地指导学生。 90年代以来，变化比较大的是删除了有关的流体力学的专业辅助课，变分方法课， 计算实习课和习题课。这主要是因为科技大学数学系专业太细、太多，专业划分 又很晚。学生在分专业前要照顾各个专业方向，需要有一个比较全面的、多种数 学专业的基础课知识。从而更加 "重、紧、深"，这也实在苦了学生！ 四门专业基础课虽然名称没变，其实内容已经有不同程度的转化，以适应当代迅 速发展的计算机科学和科学计算的需要。首先是程序设计有了实质的变化，过去 的手编代码程序为Fortran和C。此外还增加了《符号语言》（例如Mathematica） 和《计算机图形学》，等多门选修课。数值分析和线性代数计算方法变化不大， 因为我们在这方面的研究和力量投入很少，顾及不到。但是为了使学生也能够从 事CAGD和函数逼近方面的研究，特别增加了《样条函数》和《函数逼近》选修课 程。偏微分方程数值方法明确地划分为两门课：《Sobolev空间和有限元方法》， 和以有限差分方法为主的《偏微分方程数值方法》。课程设置很多，好在程序设 计的有关课程，其中大部分已经纳入数学系的公共基础课中，划分专业前基本上 就已经学习过了。 不管怎么说，专业划分后的一年半的时间内，如此多的课程，还有毕业论文设计， 对于学生来说是不堪的重负。或许，这也是国内许多大学计算数学专业的通病。 2．研究生教学内容和课程设置 计算数学专业研究生，有两类专门化培养方向：一是数值计算，包括计算流体力 学方法，有限元方法，间断解数值方法和偏微分方程反问题的数值方法。另一类 是CAGD，数值逼近和计算机代数、几何。 以前面的专门化方向为例，课程有《计算流体力学的数学理论》、《计算流体力 学方法》、《非标准有限元方法》（包括Mixed FEM, Moving FEM, Time-space FEM, Discontinuous FEM, 等等）、《结构和无结构网格生成方法》、《高分辨 率方法（包括TVD, ENO, Weighted ENO, 等等）》，还有一些选修课，例如《运 动界面追踪问题的数值模拟方法》、《谱方法》等。 3．人才的流失和教师的困惑 今天的学生比较现实。为了能够出国留学、去薪水丰厚的大公司任职，特别注重 计算机软件的知识和英语的能力。80年代中期以来，科技大学计算数学人才就严 重流失。加之我们对人才的认识和渴求，又远不如国内的许多大学。尽管"特 聘"、"长江"和"百人计划"教授很多，但真正能够劳苦于教学、科研第一线 的教师人才，始终紧缺，也并不重视，对流失现象听之任之。所以培养的学生、 研究生和博士后也留不住。结果导致计算数学教师甚少，许多课程难于应付，许 多专业方向的教学和研究（例如，谱方法，多重网格方法，区域分解方法，并行 算法，等等）空缺。作为教员，我们已经感到面临危机。 此外教师本身还有许多的困惑和烦恼：如何去面对、处理科研与教学的矛盾？教 材的编写和不断的更新机制，何以得到保证？ 众所周知，现在大专院校的职称评定，基本是论文"挂帅"。要有足够质和量的 论文，才能够得到晋级。从而时间上就难以保证教学的准备、研究和水准。教学 本身就是一门学问和艺术，没有足够的投入、学习、琢磨和研究，没有相当实践 的不断积累和在实践中的推陈出新，是难以有所造诣的。现在似乎造成这样一种 事实，有"学问"也就能"教"好"学"，并不把教学当成一门学问和艺术。回 想当年在北大听许多老数学家的课，来科技大学又聆听了华罗庚先生的课，那真 是一种艺术，也是一种享受！今天有时偶尔听一听"专家"的课，常常使你一头 雾水。那才是天壤之别啊！ 再者，现在计算数学的发展日新月异。但是有关的教材远远落后，更谈不上不断 的更新了。除了上面提到的原因，教材的编写和更新不被重视，不当作基本的学 科建设，也是重要的原因。很多的是教员只能够采用课余时间编写，不算工作量 又不记报酬，那还真要有点"雷锋"精神才行。 4．计算数学教学内容的庞杂和凌乱说明了什么？ 不能不承认，计算数学的教学内容和课程设置，日益繁杂，分支又多，涉及的其 它学科广泛。在某种意义上说，不能自成系统，显得凌乱。而且随着时间的进程， 将越来越明显。 为什么会形成这种情况呢？ 当代计算数学或者科学计算的发展，特别是计算机科学的发展，引起或者正在引 起整个科学，从内容、方法到研究手段上的改变，也将导致科学的重新分化和组 合。计算数学的研究已经不能脱离具体的应用学科，因为只有这样才有生命力， 才会有所开拓和创新。我们已经看到，计算数学方法在许多学科的应用、结合， 扩展了相关学科的新形势，形成了该学科的新方向。例如计算流体动力学、计算 水动力学、计算燃烧学、计算化学、计算生物学，等等举不胜举的新的交叉学科。 同样地，其它学科向计算数学的渗透，也引起了计算数学的相应的研究方向。譬 如，激波等间断解的问题，使计算数学的弱解方法和理论带来的新天地；多相界 面的运动问题导致"运动界面追踪的数值模拟方法"的探索和研究；等等。 计算数学的方法和理论，本身并不是数学学科的产物，它是首先来源于实际计算 的需要，而寻求于数学方法和手段，从而形成、或者集合而言之为计算数学。实 是以"计算"为目标的数学方法和理论。何况，随计算技术和计算机科学的发展， 其它学科需求的发展，计算数学的内涵、方法和理论，也会转化和改变。 正因为这样，计算数学的研究方向，也就是学习内容和课程设置，就必然繁杂和 凌乱。看来似乎难以避免，除非把计算数学限定在某个很窄的范围内。

kkkttt · 发表于 2005-11-24 20:20

三．计算数学的普及和我们所作的工作 纵然计算数学和计算科学是最联系实际的实用科学之一，却也并非像加减乘除、 平方开根那么容易讲清。甚至也不是求一个简单的数值积分，或者解一个十几个 未知量的线性方程组那么平凡。今天所说的计算数学和计算科学更多的是科学与 工程中的数值计算、数值逼近、计算机数值模拟和计算机实验。它不仅是数学理 论、手段和方法，它又与科学和工程计算实际密切关联，依托于计算机科学的软 硬件环境和发展的交叉学科。所以谈起计算数学，或者计算科学的普及和大众化， 似乎并不那么容易。 现在已经出版了俩位院士的有关科普小册子，石钟慈教授的《第三种科学方法— 计算机时代的科学计算》和张景中教授的《计算机怎样解几何题—谈谈自动推 理》。他们实在是带了个好头，对于科学计算和计算机几何、代数推理的许多基 本概念和内涵，特别是意义和发展前景，作了深入浅出的介绍。 但是仍然无法涉及进一步的方向和内容，即使涉及到一点深层次的概念和方法， 也就成了"阳春白雪"，收不到预期的效果。特别是若以计算数学的标题来作文 章，常常会陷于无源之水、无本之木而"脱离实际"。 如果结合科学和工程的实际，例如流体、波动和工程现象的数值计算、计算机模 拟和计算机实验，并且辅以计算机的图象、动画和虚拟现实的显示，那么其收效 必然显著。计算数学和计算科学的普及教育，从这一点来说，要比数学的其它方 向更应该贴合大众，更容易吸引青少年。 这样以来，也可能有人不以为然，‘这还能算是计算数学'？其实，我前面已经 说过，计算数学本身在今天已经在变化，由于计算机科学的发展和其它学科的发 展，科学领域正在发生着改变、分化和重组。我们应当顺其自然，不能墨守成规。 其次，计算数学和计算科学的普及，也要分为几个层次。 （1）面向青少年学生，引起他们的兴趣，呼唤他们献身这项科学事业，加入计 算数学的队伍，为国家的科学与工程计算、计算机数值模拟、国防和经济建设作 出贡献。俩位院士的科普读物就是范例。以前这方面的科普作品的例子也不少。 我们也早在1981年的《自然》杂志上发表了‘计算流体力学'，那是第一次向国 内介绍该专门化方向的科普文章。1994年和1998年发表的"计算流体动力学与计 算水动力学的进展与展望"、"谈谈计算数学的发展与展望"，也具有这方面的 意义。 （2）面向大众，宣传、普及计算数学和计算科学的实际意义和应用价值，以求 取得人们的支持。特别是面向各级领导，以获得他们的支持和赞助。 （3）面向实际从事科学与工程计算的青年研究人员和技术人员。热心向他们提 供新的计算数学思想、方法和理论，帮助他们更新技术和数值模拟的手段，能够 为他们所承担的工作尽一点力。在这方面，我们长期来已经作了很多努力。从 1978年开始，我们就在工程兵、国防军工的许多科研院所，在科技大学的力学、 物理和天体力学，在国家几个海洋所，在南京紫金山天文台和南京大学，等等许 多院校科研单位开办过"爆炸力学计算方法"、"计算流体力学"、"计算物理" 等的讲习班和培训班。同时也不断地将新出现的计算方法写成科普文章，向大家 介绍，例如"谈谈随机选择法"、"活动界面追踪问题的数值模拟方法"，等等。 此外，我们也通过组织和参加国内的相关的许多科学计算会议，进行了交流。 四．由感而发的几个问题和想法 （1）计算数学所肩负的任务到底是什么？ 计算数学是关于计算方法的数学理论，即可靠性、复杂性和收敛性的研究？ 这种说法显然过于数学化，既不合理也不贴切。前面我们已经说过，今天的计算 数学与其它理工学科和工程的实际联系紧密，甚至不可分割，也是其创造力、生 命力的源泉。 许多新概念、新思想和新方法，甚至新理论，首先来自于其它自然学科、工程的 计算实践和要求。由于有结构力学和弹性力学的计算实践的要求，才发展出了有 限元和边界元方法；也由于激波、接触间断等的计算和数值模拟的迫切需求，才 提出了间断解，或者弱解的思想、概念、方法。分析气体的分子粘性得到的启示， 才提出了‘人工粘性法'，才能发展到今天的数值扩散和反扩散，以及守恒率方 程的限制函数或者限制器（Limiter）的方法；在数学上，弱解常常是不唯一的， 也因为通过对物理解的唯一性分析，根据热学不可逆过程的熵增原理，才发展出 数学上的弱解唯一性条件，使间断解的数值计算和数值模拟得以保证；如此等等， 举不胜举。 何况，有些方法也只有计算机科学发展到一定的时期才能够应运而生。并行算法 自不待言，而区域分解方法、多重网格方法、多尺度方法等，又何尝不是？ 回想1965年，Zabusky和Kruskal通过数值模拟，揭示了KDV方程孤立波所呈现出 的守恒性和类粒子性。而后在不同领域发现了孤粒子的存在，从而引起了数学、 物理中的非线性波和孤立波的研究，以及反散射方法、守恒性和方法的研究。这 也同时说明计算数学和计算科学的发展，也已经、并将更强劲的对其它科学包括 数学科学的发展有所推动。 现在，教育部将计算数学归于"信息与计算科学"，虽然有一定的道理，但是也 只能是一种折中的、临时的方案。因为‘信息'和‘计算科学'两者的‘交集'， 只能是各自的一个不大的局部而已。因此，国内的大学对于计算数学的归属问题， 就各有各的说法和做法，很难取得一致和共识。其实，国外又何尝不是这样。我 想不必操之过急，顺其自然为好。 事实上，计算数学的今天，应该是科学与工程计算、计算机数值实验与模拟的方 法、理论研究的一个复杂的系统工程。仅仅用‘计算数学'的名称来包涵它，实 在是太勉为其难了。 显然，在大学里，如果用一个系，甚至是用一个‘计算科学学院'来容纳，来设 置，也不为过。 （2）此而引起的问题，那就是计算数学应包含那些基本的方向和研究内 容？ 显然，第一个问题如果不能够取得共识，这个问题就回答不了。 即使仍然按照‘计算数学'以前的认识，在今天也应当发展和更新了。正如有的 大会报告谈到的，今天的计算数学可以划分为两个大方向：科学与工程的正问题 和反问题的计算方法、计算机实验、数值模拟的理论、应用。 前者包含以往的数值分析，代数方程的数值方法和偏微分方程的数值方法，数值 优化方法，随机模拟实验方法（包括Monte Carlo 方法，随机选择方法， Lattice gas 和Lattice Boltzman方法，等），计算流体力学，并行算法、结构 与无结构网格的构造和生成、计算机代数推理、计算机辅助几何设计（CAGD）， 数学软件设计及应用，等等。 反问题则是偏微分方程反问题，几何反问题，代数反问题，以及其它不适定逆问 题和模式识别等的数值方法、计算机实现的研究和理论。 由此可见，计算科学如果包括力学、物理、生物、化学，以及工程技术中的计算、 数值模拟和计算机实验，也就是说，与计算物理、计算流体、计算生物、计算化 学，等等相结合，确实将是一个很庞大的科学系统。事实上，它们又是互相关联， 相互渗透。所以我们说随着计算机科学和自然科学的发展，科学本身将会产生不 断地转化、变革、融合，甚至重新分化、组合。 我们不可故步自封、因循守旧，而要顺其自然，满腔热情地去迎接科学的新时代。 （3）计算数学如何面对商业意义上的、科学上的竞争和选择？ 无容质疑，原本意义上的计算数学也取得了巨大的发展和进步。许多新的方法提 出来了，相应的新理论产生了和解决了。例如，大稀疏矩阵的各种计算方法， Yanneko的分数步方法（Fractional-Step Methods或者Direction Splitting Methods），有限元方法的超收敛性研究，多重网格方法，区域分解方法，等等。 然而，我们是否也应当看到，计算数学已经存在的‘信誉'和‘生存'的危机？！ 这并非是耸人听闻！因为：一方面，我们国内业界人才的严重流失；另一方面， 我们的方法、理论研究，特别是实际应用、实用软件的研究和制作，已经在一些 方向和方面上，既不如国内的其它自然科学研究院所的工作和效果，更比不上国 外许多大学相关的系所。

kkkttt · 发表于 2005-11-24 20:20

国际上，以美国的Glimm、Osher、Shu和英国的 Morton、Spalding、Patanka等 人的科研群体的研究和应用成果，世人瞩目。我们的发展和进步，相比之下实有 不小的差距。特别是美英等国已经推出了许多优秀的商业应用数值软件，例如 Phoenics、Fluent、Ansys等，可以数值模拟各种不同的物理、力学、燃烧、湍 流等的复杂科学和工程计算问题。而且还有针对各种具体目的的商业软件和免费 软件，如网格生成和绘图软件等。这些软件的制作精良，其中采用了许多最先进 的数值方法，最现代的计算机信息技术和计算机图形学方法。 国内，像应用物理和计算数学研究所、中国科学院大气物理所等，他们并非是计 算数学的专业研究全体，但是他们在计算数学和计算科学方向上的贡献是有目共 睹的。他们所以能够在计算数学和计算科学上取得优异的研究成果和应用价值， 应当说其主要的原因是他们工作在实际科研的第一线，理实交融、任重道远，更 有着强烈的责任感和紧迫感。 如果我们全国各行各业中的计算数学、计算科学、科学和工程计算的同行们，同 心同德团结合作，肩负起我们国家的科学和工程、国防建设和经济建设中的数值 计算、计算机实验和数值模拟的重任，那么不久，我们将迎来一个计算数学和计 算科学的百花盛开的春天。 谢谢。 参考文献 [1]刘儒勋，田安久，计算流体力学，自然杂志，6期，1981 [2]Richtmyer P.D. and Morton K.w.,Difference Methods for Initial Value Problems, John Wiley&sons.1967 [3]Zienkiewicz O.C. ,The Finite Element Method (third edition) ,MeGraw-Hill,1977. [4]Lax P.D.,Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves,SIAM Regional Conf. Series Lectures in Appl.Math.,11 (1972)101 [5]Олейник.О.А： Радрывные решения нелеснейных ди фе-рениальныху равнений， УМН，12（1957）3-73 [6]冯康，基于变分原理的差分格式，应用数学与计算数学，2-4（1965）238 [7]北大爆炸波计算组，拟线性方程的几种差分格式，计算机应用与应用数学， 1974。12 [8]用有限元法计算气冷叶片二维稳态温度场，3（1976）261 [9]石钟慈，第三种科学方法—计算机时代的科学计算，暨南大学、清华大学出 版社，2000 [10]张景中，计算机怎样解几何题—谈谈自动推理，暨南大学、清华大学出版社， 2000 [11]刘儒勋，田安久，计算流体力学，《自然》杂志，4-6（1981）434 [12]刘儒勋，计算流体动力学与计算水动力学的进展与展望，力学与实践，16 （1994）1-9 [13]刘儒勋，王志锋，浅谈计算数学的发展与展望，4（1998）11-20 [14]刘儒勋，谈谈随机选择法，力学与实践，16（1994）1-9 [15]刘儒勋，活动界面追踪问题的数值模拟方法, 《力学与实践》22-3（2000） 1-14 [16]何旭初等，最优化方法，科学出版社，1978 [17]徐钟济，随机性检验，电子计算机动态，第6、7、8期，1962 [18]裴鹿成，计算机随机模拟，湖南科学技术出版社，19989 [19]聂小波，格子气与格子波尔兹曼方法，计算数学通讯，38（1995）13-20 [20]李元香，康立山，陈毓屏，格子气自动机，清华大学出版社，1994 [21]忻孝康，刘儒勋，蒋伯诚，计算流体动力学，国防科技大学出版社，1989 [22]付德薰等，流体力学数值模拟，国防工业出版社。 1993 [23]孙晓梅，任兵，宋君强，并行计算与偏微分方程数值解，国防科技大学出 版社，1990 [24]刘儒勋，王志锋，运动界面追踪问题的数值方法，中国科学技术大学出版社， 2001 [25]杨路，张景中，侯晓荣，非线性代数方程组与定理机器证明，上海科技出 版社，1996 [26]张永曙，计算机辅助几何设计的数学方法，西北工业大学出版社，1986 [27]Trefethen,L.N., Spectral Methods in MATLAB, SIAM, Philadelphia,PA (httsp://www.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen) [28]苏超伟，偏微分方程逆问题的数值方法及其应用，西北工业大学出版社， 1995 [29]黄光远，刘小军，数学物理反问题，山东科学技术出版社，1993 [30]周树荃，戴华，代数特征值反问题，河南科学技术出版社，1991 [31]徐树方，张平文，线性代数方程组的数值解法，北京大学出版社，2000 [32]Yanenko N.N.,The Method of Fractional Steps,Springer-Verlag,1971 [33]朱起定，林群，有限元超收敛理论，湖南科学技术出版社，1989 [34]曹志浩，多格子方法，复旦大学出版社，1989 [35]刘超群，多重网格法及其在计算流体力学中的应用，清华大学出版社，1995 [36]吕涛，石济民，林振宝，区域分解算法，科学出版社，1992 （本文原为在全国《科学计算与信息教育暨普及工作研讨会》上的报告，现在有 所修改、补充和完善）

adminftp · 发表于 2005-11-25 11:44

好文章

多情清秋 · 发表于 2005-11-26 18:04

*冲击波*的博客 谈谈计算数学（zz） *冲击波* 于 2005年 04月17日发表 from 88 从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调 了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 最好地说明这个问题： How could someone as brilliant as von Neumann think hard about a subject as mundane as triangular factoriz -ation of an invertible matrix and not perceive that, with suitable pivoting, the results are impressively good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on experience, concentration on the inverse rather than on the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem for at least two years after the appearance of QR? Why did more than 20 years pass before the properties of the Lanczos algorithm were understood? I believe that the explanation must involve the impediments to comprehension of the effects of finite-precision arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) 既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所 了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当 前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。 侯一钊（加州理工） 研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 鄂维南（Princeton大学） 北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟 http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 包刚（Michigan州立大学） 吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等 http://www.mth.msu.edu/~bao/ 金石(Wisconsin大学) 清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、 动力学理论等 http://www.math.wisc.edu/~jin/ 汤涛（香港浸会大学） 中科院，研究方向：移动网格法等 http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ 舒其望（Brown大学） 中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 陈汉夫（香港中文大学） 研究方向：数值线性代数 http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ 许进超（Pennsylvania州立大学） 北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法 http://www.math.psu.edu/xu/ 袁亚湘 中科院，研究方向为非线性最优化 http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ 张平文（北京大学） 北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 模拟、移动网格法等 http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 陈志明（中科院） 研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法 http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html 其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 是颇有裨益的。 理论： 最好的基本是 Mathematics of Computation Numerische Mathematik SIAM Journal on Numerical Analysis SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications SIAM Journal on Scientific Computing 较好的有： BIT IMA Journal of Numerical Analysis Advances in Computational Mathematics Inverse Problems 还有应用性质的杂志： Journal of Computational Physics International Journal for Numerical Methods in Engineering Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering International Journal for Numerical Methods in Fluids Computers and Fluids Computational Mechanics 还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of Computational Chemistry，Computational Material Sciences 也可以浏览。 但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大 学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法 非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 这里大概也有二三十篇，可以提供上载。 另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或 者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。 作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。 微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 法、有限元法、边界元法和谱方法。 有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程 数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。 Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 《Finite Difference Method for Differential Equations》也很 有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的 主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 数值方法方面非常出色的著作。 有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner & Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element Method》据说也是不错的。 谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有 很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/ ） 上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还 有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过 不知道能不能再学校里找到。 除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理 在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。 最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 面的网址注册 http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册 http://www.netlib.org/na-net 先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我 记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆 都有中译本的。 接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师 在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐 树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方 向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面 有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列 出来。 国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面 的大家。 矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， 系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 很有启发的。现在的经典是Golub和 van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译， 《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上 找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear Algebra》，Trefethen & Bau 的 《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， 写的挺有意思的，在他的主页 （http://www-users.cs.umn.edu/~saad/） 上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 书，《The theory of matrices in numerical analysis》 (有中译本，系里中英文版的都有)。 LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典， 前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》， 《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference and Spectral methods》（在他的主页上可以 down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/） 。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。 他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 献，也许对大家有点启发。 1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform 2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE 3. Householder (1958) QR factorization of matrices 4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas 5. de Boor (1972) calculations with B-splines 6. Courant (1943) finite element methods for PDE 7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 8. Brandt (1977) multigrid algorithms 9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration 10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates 11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE 12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. 13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles 他的remark也很有意思，We were struck by how young many of the authors were when they wrote these papers (average age: 34), and by how short an influential paper can be (Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 都还是很有希望的，呵呵。 反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前 叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂 志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的 杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。 在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问 题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好 的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他 们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin Hanke（德国）， Isakov（美国）等。 反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根 据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应 用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。 水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学 的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问 题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水 平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上 有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher 的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一 个综述和展望，值得参考。 反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学 校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基 本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但 是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问 题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘 记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equation of the first kind》 是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本 书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的 《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错 的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的 《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以 作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的 《Inverse problems for partial differential equations》， Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for Ill-posed Problems》应该也是不错的。 在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank- deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的 《Computational Methods for Inverse Problems》。两本 书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基 本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅 读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学 化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是 Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该 也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论 了。 反问题的reading list 可以在下面的链接中找到： http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop529/readings/readings.html 计算的热点似乎有两个特点： 一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、 计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学 科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三 种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学 中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。 一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微 分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能 是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。 这也应该是一个值得注意的地方。 由于自己是凭记忆写的，还没有校对过，差错肯定不少，希望其 他同学能够指出其中的错误来，以免误导大家，也欢迎大家跟我 讨论

zhmath · 发表于 2005-12-28 09:32

好帖！不能不顶啊！

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