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[人工智能] 混沌中的不动点

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发表于 2009-3-19 22:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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请问有哪位知道混沌中的不动点是什么意思?
包括排斥不动点和吸引不动点?
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 楼主| 发表于 2009-3-20 08:33 | 显示全部楼层
解决了!呵呵。
 楼主| 发表于 2009-3-20 08:34 | 显示全部楼层
定义: 函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点。
 楼主| 发表于 2009-3-20 08:35 | 显示全部楼层
举例:取一个浅盒和一张纸,纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来,随机地揉成一个小球,再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明,不管小球是怎样揉成的,也不管它落在盒底的什么地方,在揉成小球的纸上至少有一个这样的点,它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。
  通过具体找到这个点,就能说明这个问题了。
  纸被揉成球以后,看它现在投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么,就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】,它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。(因为整个底板对应于整个纸团,那么地板的一部分就肯定对应于一部分纸团)
  假如去掉纸团的其他部分,那一小团部分同样可以在纸盒底面投影,而且投影肯定比刚才的大投影小,而且在它之内。(因为它是在整个纸团之内)。那么,取这一小片投影(注意这片影子肯定是连续的不会断开,因为纸没有撕裂),当它再往纸团里对应的时候,肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。
  就是说:
  整个纸盒对应于纸团
  纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块
  纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块
  纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块
  …………………………
  不断地去掉纸无限次,最后纸团只剩下了一个点,它的投影就对应于纸盒的一个点。
 楼主| 发表于 2009-3-20 08:35 | 显示全部楼层
函数不动点:例如,定义在实数上的函数f,
  f(x) = x^2 − 3x + 4,
  则2是函数f的一个不动点,因为f(2) = 2。
  也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数,x永远不会等于x + 1。用画图的话来说,不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上,或者换句话说,函数f的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是,这个函数的图像与那根直线是一对平行线。
 楼主| 发表于 2009-3-20 08:35 | 显示全部楼层
不动点原理:动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或巴拿赫(Banach)不动点定理,完整的表达:完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解:连续映射f的定义域包含值域,则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间, f:X→X是一个连续映射, 且存在x∈X, 使得f(x)=x, 就称x是不动点。
 楼主| 发表于 2009-3-20 08:36 | 显示全部楼层
不动点应用:
    1 利用f(x)的不动点解方程(牛顿切线法)
  2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式
  3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题
  4 求解数列问题(求解一阶递归数列的通项公式)
  5 求解一阶递归数列的极限
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