总势能、外力势能、应变能三者关系？

MechandMath

请教各位：
       弹性体的总势能=外力势能+应变能，那么外力势能在数值上可不可以看成是外力在对应位移上做的功（二者符号相反），即外力功啊？那么它不也就是和应变能数值相同符号相反吗？因为外力功全部转化成了应变能！那么总势能不是变成0了啊？这里怎么回事呢？我的理解哪里有问题，请高手答疑！谢谢！

nonlinear

如您所说，外力势能为外力所做的功。应变能就是内力所作的功。这两者没有必然的联系。

个人意见，仅供参考

yiqing

对弹性变形体，不考虑动能等其他形式的能，所谓的能量就是指的势能，这个势能包括应变能和外力势能。因为有外力做功，所以对你所研究的系统存在能量增加或减少。

MechandMath

原帖由 nonlinear 于 2009-7-20 23:10 发表
如您所说，外力势能为外力所做的功。应变能就是内力所作的功。这两者没有必然的联系。

个人意见，仅供参考

感谢回复！《弹塑性力学》（陈明祥 编著）一书中71页3章第四节（3.4 弹性应变能）的第4行说：在静力作用下，外力所做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。
由此看出外力功和应变能应该相等啊！不过目前我也没有把三者关系搞清楚，再仔细看书后讨论！

uyuo

外力对弹性体做功，而弹性体本身就有可能存在弹性势能，所以会要两者相加的

飞天诗人

想了一下，这样理解可能比较好：
势能是一个泛函，它之所以是应变能减去外力做的功（应变能加上外力势能），是因为它就是被定义为这个样子。光从数学上去理解。
这样定义的一个好处就是有最小势能原理，即真实状态下势能取最小值。例如一个弹簧，一端固定，一端受拉力F。则势能为1/2kx^2-fx，为了取最小值，对x取一阶导等于0，得到平衡方程kx-f=0。其实从弹性力学的书上我们知道，最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件。
至于势能这个定义有什么物理背景？真实状态下势能是不是为0呢？这个我还没搞懂。

[ 本帖最后由 飞天诗人 于 2009-8-17 13:03 编辑 ]

chenfg0515

认真学习了…… 呵呵

nonlinear

http://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy

Potential energy is energy that is stored within a system. It exists when there is a force that tends to pull an object back towards some original position when the object is displaced. This force is often called a restoring force. For example, when a spring is stretched to the left, it exerts a force to the right so as to return to its original, unstretched position. Similarly, when a weight is lifted up, the force of gravity will try to bring it back down to its original position. The initial steps of stretching the spring or lifting the weight both require energy to perform. According to the principle of conservation of energy, energy cannot be created or destroyed; hence this energy cannot disappear. Instead, it is stored as potential energy. If the spring is released or the weight is dropped, this stored energy will be converted into kinetic energy by the restoring force — elasticity in the case of the spring, and gravity in the case of the weight

将势能当做泛函是一种视角，在用拉格朗日定理建立方程的时候有优越性。
势能具有明确的物理意义，从物理上理解更加容易。
泛函的变分为零，不等于泛函为零。能量既然是个相对量，其绝对值就没有太大意义，其作用要在一个变化过程中才得以体现。
个人意见，仅供参考

[ 本帖最后由 nonlinear 于 2009-8-28 18:39 编辑 ]

飞天诗人

外力势能等于外力做得功的负值，在只考虑弹性变形的静力学问题中，外力做的功变成了应变能。那么势能的定义是应变能加上外力势能，那么真实状态下势能岂不是为0了？还有什么物理意义？

[ 本帖最后由 飞天诗人 于 2009-9-1 14:33 编辑 ]

lilili606

系统原来的内能就一定是0吗？

飞天诗人

已修改~~~~~~
你说的很有道理，这里有两个问题。
1、真实状态下的应变能确实不一定为0，可能是热、电等其他原因引起的。但如果把这些因素都看作是广义力，是否能给出多场耦合问题的最小势能原理？(这个应该是可以的，即多变量的变分原理)这时候真实状态下的这个广义"势能"是否为0？
2、即便真实状态下的势能不为0，势能这个概念有什么物理意义呢？

[ 本帖最后由 飞天诗人 于 2009-9-1 14:43 编辑 ]

MechandMath

感谢各位热心的讨论，关于能量原理我自己又好好看了一遍，根据应变能、外力对弹性体所作的功（简称外力功）、外力势能、弹性体的总势能的定义，我在这里就我自己的理解和大家交流一下：
首先是势能的定义：势能是指能量只取决于状态，而与达到该状态的路径无关。就如外力势能，它只取决于最后的外力状态和位移状态，和达到这个状态的路径无关，也就是在一个循环之后外力势能不变。由外力势能的定义式（请参考陈明祥 《弹塑性力学》158页）可知外力势能不等于外力功（二者绝对值也不相等，但是在线弹性且位移边界为零的情况下二者绝对值相差一个常数，事实上，在这个情况下，外力势能的绝对值是外力功的二倍），因此外力势能也不是应变能，应变能等于外力功，这是功能转换。
所以我最先提出来的问题可以有个解答：就是外力势能不是外力功，但是二者到底什么关系我还没有深刻理解，请指教！应变能等于外力对弹性体作的功！而弹性体的应变能也只取决于应力应变状态，与路径无关，所以应变能也是一种势能。由此弹性体的总势能=应变能+外力势能。由虚位移原理推出弹性体的总势能变分为零，由此推出最小势能原理。

最值得澄清的一点是外力势能不是外力功（绝对值），这里感谢飞天诗人举的弹簧的例子，由他的例子知弹簧的总势能是W=1/2kx^2-fx,其中-fx就是外力势能，但是可以推导出-fx和fx都不是外力功，因为这个力f是缓慢加上去的，有一个过程。从零开始加到f的，这里外力是弹簧伸长量的线性函数，其实大家都熟知f=kt (t为伸长量)。记f在dt上做的功增量为du=fdt，那么f做的总功u为t在[0,x]上的积分，求得就是u=1/2kx^2这就是弹簧变形能。而这个例子正如我上段所说，弹簧一段固定了，位移边界=0,而且是线弹性材料，于是可以看到外力势能的绝对值 fx=kx^2这个值刚好是外力功（变形能)的二倍。

当然我对外力势能的物理意义还是不甚清楚，请大家积极讨论，互相交流学习！再一次感谢大家参与我的问题，希望我们在交流和讨论中都得到提高！

[ 本帖最后由 MechandMath 于 2009-9-5 21:12 编辑 ]

justin0511

对这个问题，开始我也比较迷惑。通过翻阅资料，查到如下几点结论，我觉得对于理解这个问题很有帮助：

1、变形体的虚功原理可以叙述如下：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。——《有限单元法基本原理和数值方法》，王勖成P30

2、弹性体上的外力功和外力势能：外力做了功，必然消耗了相同值的势能，即w（外力功）=-V（外力势能）
3、应力（内力）的功和形变势能（内力势能）：假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，存贮于物体内部。
4、弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和。
5、弹性体的总势能有两种说法：一是应变能（形变能）+外力势能；二是应变能（形变能）-外力作功。——参考网址http://online.hhu.edu.cn/MultiMediaLesson/TuMuGongChengXueYuan/tanxinlixue/%E7%AC%AC5%E7%AB%A0/%E7%AC%AC4%E8%8A%82/c04_gs.html

justin0511

原帖由 MechandMath 于 2009-9-5 21:00 发表
最值得澄清的一点是外力势能不是外力功（绝对值），这里感谢飞天诗人举的弹簧的例子，由他的例子知弹簧的总势能是W=1/2kx^2-fx,其中-fx就是外力势能，但是可以推导出-fx和fx都不是外力功，因为这个力f是缓慢加上去的，有一个过程。从零开始加到f的，这里外力是弹簧伸长量的线性函数，其实大家都熟知f=kt (t为伸长量)。记f在dt上做的功增量为du=fdt，那么f做的总功u为t在[0,x]上的积分，求得就是u=最值得澄清的一点是外力势能不是外力功（绝对值），这里感谢飞天诗人举的弹簧的例子，由他的例子知弹簧的总势能是W=1/2kx^2-fx,这就是弹簧变形能。而这个例子正如我上段所说，弹簧一段固定了，位移边界=0,而且是线弹性材料，于是可以看到外力势能的绝对值 fx=kx^2这个值刚好是外力功（变形能)的二倍。 ...

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外力作功就是等于势能减少。至于你举的弹簧的例子，作功是不考虑中间过程的，外力f是恒定的，外力作的功即为fx，系统总势能为1/2kx^2-fx

niuniu3

个人感觉：
1）：外力势能在数值上可以看成是外力在弹性体上所做的功，两者符号相反。
2）：形变势能的增加应当等于外力使能的减少，也就是等于外力所做的功。这里是指形变势能的增加量，不是所有的形变势能。
而所有的形变反映在形变势能上都为正的。。。
不知道楼主看明白了没有，呵呵