[求助]由映射方程转换为微分方程的一个疑惑

ekolin

陆同兴编著的《非线性物理概论》中讲到映射的时候，把映射，也就是一个递推关系，x(n+1)=A*x(n); A 是常数，变为微分方程时，按我的理解应该是两边同减一个x(n)项，于是得x(n+1)-x(n)=(A-1)*x(n); 于是相应得微分方程是x'=(A-1)*x，可是书中变为x'=a*x，书中并没有提及a, 我这里暂且认为a=A-1.

然而，后面又讲到人口模型时，映射方程为: x(n+1)=u*x(n)*(1-x(n)), 书中直接把它变为了微分方程为 x'=u*x*(1-x)，参数u并无变化。


我的疑问是：递推关系x(n+1)=f(x(n)) 变为微分方程的方法是机械求导的方法，即x(n+1)-x(n)=f(x(n))-x(n)=>x'=f(x)-x， 吗？问题比较简单，但对于自学的我来说，有点晕啊。

lushuang8

赞同楼主的观点！

ekolin

我在网上查了查，递推方程和微分方程还是有点差别的。微分方程变为递推方程一般很复杂，可以有级数式的精确递推公式，所以一般用近似的方法比如欧拉法，这样能够方便地数值解微分方程。比如，微分方程，y'(x)=f(x,y),欧拉法变为递推式 y(n+1)=y(n)+h*f(x(n),y(n)), 这里h是步长。

但反过来，对于一般的递推式子，你如果想办法把它凑成欧拉递推式子的形状：y(n+1)=y(n)+h*f(x(n),y(n))，然后把它写为y'(x)=f(x,y)，就会发生错误，因为欧拉递推仅仅是一个计算上的而且存在一定误差的近似而已。

对于递推关系，一般可以把y(n+1)=f(y(n))中的y(n+1) 用y'(t)代替右面直接用f(y(t))代换得到一个近似的微分方程，这个微分方程的解一般来说和原递推方程是同族的。原因就不知道了。

kuzb

ekolin 发表于 2009-11-14 19:15
我在网上查了查，递推方程和微分方程还是有点差别的。微分方程变为递推方程一般很复杂，可以有级数式的精确 ...

你知道怎么将微分方程转换成映射方程吗？谢谢